Фазовый поток и пара вопросов сверху

[canis_majoris]

Читая Jose, Saletan, Classical Dynamics столкнулся с необходимостью разобраться с нотацией применяемой дифференциальной геометрии ("бескоординатной") и рядом понятий оттуда на уровне "понять в чем идея и уметь посчитать", в частности с производными и скобками Ли. Из Геометрических методов мат. физики Шутца я определил для себя производную Ли(векторного поля, к примеру) так:
$M$ - многообразие и точка $a \in M$; $X$, $Y$ - векторные поля на $M$; $g_{X} ^{t}$ - поток поля $X$, $g_{\star X} ^{t}$ - индуцированное преобразование касательного расслоения $TM$; тогда производная Ли поля $X$ вдоль поля $Y$ в точке $a$

$$\mathcal {L}_{X} Y[a] = \lim_{t \to 0} \frac {g_{\star X} ^{-t} Y_{g_{X} ^{t} a} - Y_a} {t} $$

На удивление, получилось довольно понятно. Провели в точке $a$ вектор $Y_a$, прошли по интегральной кривой поля $X$ на расстояние $t$, провели там вектор $Y_{g_{X} ^{t} a}$, вернули его назад в точку $a$ преобразованием $g_{\star X} ^{-t}$, вычли, получили "приращение", вот и понятно, почему производная. Но, что бы это определение могло принести какую-то пользу, надо было узнать, как построить фазовый поток по данному полю. Я стал копаться в других книгах и "уперся в стену" значительно раньше, чем ожидал. Уперся я на определении вектора . В итоге, единственное (через ростки я совсем не понимаю ) определение, которое я понял - определение из суровой книжки "Риманова геометрия в целом". Приведу его. $f,g \in \mathfrak {F}M$ - гладкие вещественнозначные функции на $M$. Тогда касательным вектором $X_a$ назовем линейный функционал над $\mathfrak {F}M$ обладающий свойством $X_{a}(fg)=g(a)X_{a}(f)+f(a)X_{a}(g)$. Тут стало понятно, откуда берется и как строится базис $\lbrace{ \partial\over\partial x^i } \rbrace$. И на дважды сопряженное пространство оно тоже похоже довольно сильно.

Но проблема в том, что определение потока из этой книги я не понял. Более того, я даже не представляю себе, как его можно определить. Ясно, что надо составить ДУ, но как? Это, собственно, мой главный вопрос.

Дальше, я не понимаю определения скобок Ли. В принципе, мне на данном этапе достаточно свойств и координатного представления, но если, вдруг, их можно определить без всяких факторалгебр, то было бы здорово, это определение знать.

Ну и напоследок. В Хосе-Салетане используется поле $\Delta = \dot{q}^\alpha {\partial\over\partial q^\alpha} + \ddot{q}^\alpha {\partial\over\partial \dot{q}^\alpha}$. Не совсем понятно, как себе его представить? У него есть какой-то геометрический смысл?

Заранее благодарю за ответы.

[Oleg Zubelevich]

почитайте сперва Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия

[canis_majoris]

Oleg Zubelevich в сообщении #656674 писал(а):

Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия

Эта книга - первая в которую я полез. Там индексная нотация. У меня же проблемы именно в бескоординатной. Да и скобок Ли там нет. Или вы хотели сказать...

Oleg Zubelevich в сообщении #656674 писал(а):

сперва

в смысле, вообще сперва? Перед чтением учебника по механике? Я все таки пока не претендую на изучение дифференциальной геометрии вообще. Мне просто нужно разобраться с парой понятий.

[fancier]

Советую просмотреть 1-ю главу книги П. Олвера "Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям".

[canis_majoris]

Я тут немного подумал и понял, что вопрос плохо сформулировал.
Вот у нас есть векторное поле $X = \xi^\alpha \frac{\partial }{\partial x^\alpha}$ на $M$, есть гладкая кривая $\gamma : \mathbb{R}\supset [a, b]\rightarrow M$. Обозначим $\Phi \circ \gamma (t) = \vec x (t)$, где $\Phi$ - карта. Тогда, что бы $\gamma$ была интегральной, по идее, должны выполняться равенства

$$\frac {d}{dt}x^\alpha =\xi^\alpha (\vec x) $$

Но при попытке дописать с обеих сторон базисные векторы с обеих сторон, выражение теряет смысл, т. к. слева стоит элемент из "координатного пространства" (не знаю, как оно правильно называется), а справа - элемент касательного пространства. Вот этот момент мне и не понятен.

fancier в сообщении #656714 писал(а):

Советую просмотреть 1-ю главу книги П. Олвера "Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям".

Спасибо, обязательно посмотрю.

[g______d]

Можно, например, так понимать: пусть есть гладкая функция на $M$, заданная в окрестности $\gamma$. Тогда можно рассмотреть $X$ как дифференциальный оператор первого порядка, который выдаст производную функции вдоль этого поля (в координатах этот оператор так и выглядит, $Xf=\xi^{\alpha}\frac{\partial f}{\partial x^{\alpha}}$). Функция $Xf$ снова определена в окрестности $\gamma$. Потом сузим ее на $\gamma$.

А можно перенести эту функцию с помощью $\gamma$ на отрезок $[a;b]$ и потом продифференцировать по $t$. Получим опять функцию на $\gamma$.

Так вот, если для любой гладкой функции, заданной в окрестности $\gamma$, эти определения совпадают, то $\gamma$ называется интегральной кривой поля $X$.

-- 10.12.2012, 23:01 --

canis_majoris в сообщении #656736 писал(а):

$$\frac {d}{dt}x^\alpha =\xi^\alpha (\vec x) $$

Но при попытке дописать с обеих сторон базисные векторы с обеих сторон, выражение теряет смысл, т. к. слева стоит элемент из "координатного пространства" (не знаю, как оно правильно называется), а справа - элемент касательного пространства. Вот этот момент мне и не понятен.

Нет, справа тоже стоит элемент координатного пространства, т. к. $\{\xi^{\alpha}\}$ без $\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}$ --- просто набор чисел.

[fancier]

Цитата:

Тогда, что бы $\gamma$ была интегральной, по идее, должны выполняться равенства

$$\frac {d}{dt}x^\alpha =\xi^\alpha (\vec x) $$

Но при попытке дописать с обеих сторон базисные векторы с обеих сторон, выражение теряет смысл, т. к. слева стоит элемент из "координатного пространства" (не знаю, как оно правильно называется), а справа - элемент касательного пространства.

Пусть $f$ -- гладкая функция на многообразии, пусть $f(x(t))$ -- её ограничение на интегральную кривую $t\mapsto x(t).$ Тогда дифференцирование по направлению касательного вектора к кривой $x(t)$ в точке $P=x(0)$ есть $\frac{df(x(t))}{dt}|_{t=0}=\sum \frac{\partial f}{\partial x^\alpha}\frac{dx^\alpha}{dt}|_{t=0}=\sum \xi^\alpha(x(0))\frac{\partial f}{\partial x^\alpha}.$ Так что базисные векторы вполне можно дописать с обеих сторон.

[canis_majoris]

Так, правильно ли я понял

$\gamma$ - интегральная кривая поля $X$, если для любой $f \in \mathfrak{F}\gamma$ имеет место равенство $ X \Bigr| _\gamma f = \frac {d}{dt}\left ( f\circ \gamma \right ) $

Только, мне кажется, в координатах должно быть $Xf = \xi ^\alpha \; \frac{\partial \left ( f\circ \Phi ^{-1} \right )}{\partial x^\alpha }$, тогда действительно получаются те самые уравнения для координат. Спасибо за помощь, сам бы я наверное, не додумался.

А что со скобками Ли? Если поля - дифф. операторы первого порядка, то коммутатор уже второго порядка

-- 10.12.2012, 23:56 --

Ох, я погорячился c $X\Bigr|_\gamma$. Имелось ввиду $\forall f\in\mathfrak{F}\Omega \Rightarrow Xf\Bigr|_\gamma= \frac{d }{dt}(f\circ \gamma)$, где $\Omega$ - окрестность $\gamma$

-- 11.12.2012, 00:08 --

Хотя нет, снова не то. Слева функция точек многообразия, а справа - вещественных чисел. Может так $Xf\Bigr|_\gamma \circ \gamma= \frac{d }{dt}(f\circ \gamma)$?