Помогите решить задачку про точки роста функции

[Snegovik]

Народ подскажите пожалуйста как доказать, что если функция f(x) определена на интервале
(a,b) , и каждая точка этого интервала является точкой возрастания, то функция f(x) строго возрастает на этом интервале.

[Гость]

Взяли две тчочки x1<x2 интервала. Строгое возрастание в точке понимаем как возрастание в некоторой окрестности точки. Тогда отрезок [x1;x2] будет покрыт бескончной системой окрестностей. Из этого покрытия выбираем конечное подпокрытие. А далее думай сам!

[Dan_Te]

Цитата:

Строгое возрастание в точке понимаем как возрастание в некоторой окрестности точки.

Это не вполне правильно, потому что по этому определению функция может быть константой в окрестности точки. Лучше так: точка $x$ называется точкой роста (у нас это называлось именно точкой роста, а не возрастания) функции $f(x)$, если существует такое $\varepsilon>0$, что
$\forall \delta_1,\delta_2<\varepsilon\quad\mbox{верно}\quad f(x-\delta_1)<f(x+\delta_2)$
Ну и наверное надо добавить, что
$f(x-\delta_1)\leqslant f(x)\leqslant f(x+\delta_2)$

[Dan_Te]

Вообще, я видел определение точки роста только для возрастающих функций, там оно дается через правый и левый пределы, которые для возрастающей функции уже существуют. Возможно, что для других функций определение точки роста вообще не используется.

[незваный гость]

Dan_Te писал(а):

Лучше так: точка $x$ называется точкой роста (у нас это называлось именно точкой роста, а не возрастания) функции $f(x)$, если существует такое $\varepsilon>0$, что
$\forall \delta_1,\delta_2<\varepsilon\quad\mbox{верно}\quad f(x-\delta_1)<f(x+\delta_2)$

Мне кажется, пользительно потребовать $\forall \delta_1,\delta_2 \in (0, \varepsilon)$. А то с отрицательными $\delta$ плохо.

[Snegovik]

А какими теоремами и оределениями нужно пользоваться при доказательстве?

[Snegovik]

Подскажите ущё немножко

[george_spbsu]

Разве что, компактностью отрезка...

[PAV]

(PAV) Изменил название темы на более информативное

Вам правильно подсказывают. Замкнутый отрезок компактен, это означает, что из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Во первом же ответе на Ваш вопрос было указано взять для каждой точки интервал, в котором функция строго растет. Из этих интервалов можно выбрать конечное число, которые покрывают наш отрезок. Ну а дальше легко поймите, что отсюда сразу и вытекает решение задачи.

[Snegovik]

Большое спасибо за подсказки!!!!!