Делимость на 2012

[Ktina]

Доказать, что при некотором натуральном $n$ сумма

$$1^1+2^2+3^3+\dots +n^n$$

делится нацело на 2012.

[Shadow]

По любому простому модулю p существует цикл
$n^n \pmod p =\Left[p(p-1)+n\Right]^{p(p-1)+n} \pmod p$ (малая теорема Ферма)
Значит по любому модулю существует цикл.

-- 09.12.2012, 21:09 --

Shadow в сообщении #656417 писал(а):

Значит по любому модулю существует цикл.

...начиная с некоторого номера, так что лучше остановится на 4 и 503

[Mathusic]

Shadow
Так при каком конкретно $n$ у вас искомое выражение делится на $m=2012$?

[Shadow]

$n=503\cdot 502\cdot 2 \cdot 2012$ Ну, наверное, можно и меньше...