Простое неравенство

[DjD USB]

Доказать, что если $x^2+y^2+z^2=1$ и $x,y,z>0$, то $A=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}$

[arqady]

Пусть $x=\frac{a}{\sqrt3}$, $y=\frac{b}{\sqrt3}$ и $z=\frac{c}{\sqrt3}$.
Тогда $\sum\limits_{cyc}\frac{x}{1-x^2}\geq\frac{3\sqrt3}{2}\Leftrightarrow\sum\limits_{cyc}\frac{a}{3-a^2}\geq\frac{3}{2}$ и $a^2+b^2+c^2=3$.
Поэтому $\sum\limits_{cyc}\left(\frac{a}{3-a^2}-\frac{1}{2}\right)=\sum\limits_{cyc}\left(\frac{a}{3-a^2}-\frac{1}{2}-\frac{a^2-1}{2}\right)=\sum\limits_{cyc}\frac{(a-1)^2(a+2)a}{2(3-a^2)}\geq0$.