2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Кол. прост. чисел между двумя соседними квадратами прост. чи
Сообщение03.03.2007, 19:23 
И так, сначала я буду говорить о количестве простых чисел на интервале \[
\left( {p,n} \right)\]
Где (p) - простые числа, (n) - натуральные числа, . Зависимость между (p) и (n) \[
p_k^2  \leqslant n < p_{k + 1}^2 \]
Несколько изменим задачу и будем искать количество составных чисел. Количество простых чисел в дальнейшем найдём как разницу от общего количества, количества составных чисел.
Введём новое понятие – базисное число и базис.
Базисное число – простые числа и числа, имеющие множителями (без повторов) простые числа.
Базис от базисного числа – количество составных чисел, имеющие множителем, базисное число.
Если (n) количество чисел в интервале (0,n) тогда:
\[\tfrac{n}{2}\] - базис от базисного числа 2
\[\tfrac{n}{3}\] - базис от базисного числа 3
\[\tfrac{n}{6}\] - базис от базисного числа 6
\[\tfrac{n}{5}\] - базис от базисного числа 5
\[\tfrac{n}{{15}}\] - базис от базисного числа 15 и.т.д.
Для определения количества простых чисел, от общего количества (n) отнимаем базис от 2 далее отнимаем базис от 3 и прибавляем базис от 6, что бы скомпенсировать повторы в базисах от 2 и от 3 и.т.д.
\[n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} - \tfrac{n}{5} + \tfrac{n}{{10}} + \tfrac{n}{{15}} - \tfrac{n}{{30}}\] .....и.т.д.
Единица входит в количество простых чисел, так как она не присутствует ни в одном из базисов.

Двигаемся дальше:
Выражение\[n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} - \tfrac{n}{5} + \tfrac{n}{{10}} + \tfrac{n}{{15}} - \tfrac{n}{{30}}\].... приведём к виду удобному для вычислений
\[
\begin{gathered}
  n - \tfrac{n}
{2} - \tfrac{n}
{3} + \tfrac{n}
{6} - \tfrac{n}
{5}(n - \tfrac{n}
{2} - \tfrac{n}
{3} + \tfrac{n}
{6}) =  \hfill \\
  (n - \tfrac{n}
{2} - \tfrac{n}
{3} + \tfrac{n}
{6})(1 - \tfrac{1}
{5}) =  \hfill \\
  (n - \tfrac{n}
{2}) - \tfrac{1}
{3}(n - \tfrac{n}
{2})(1 - \tfrac{1}
{5}) =  \hfill \\
  (n - \tfrac{n}
{2})(1 - \tfrac{1}
{3})(1 - \tfrac{1}
{5}) =  \hfill \\
  n(1 - \tfrac{1}
{2})(1 - \tfrac{1}
{3})(1 - \tfrac{1}
{5}) =  \hfill \\
  n(\tfrac{1}
{2})(\tfrac{2}
{3})(\tfrac{4}
{5}) \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
\[
m_p  = (\tfrac{1}
{2})(\tfrac{2}
{3})(\tfrac{4}
{5})(\tfrac{6}
{7}).....\tfrac{{p - 1}}
{p}
\]
\[
m_p  = \tfrac{{(p - 1)!}}
{{p!}}
\] - рекуррентная формула для определения значения \[
\tfrac{{(p - 1)!}}
{{p!}}
\]
Исходя из выше изложенного, выводим общую формулу для определения количества простых чисел на интервале (p,n) - \[m_p n\]

p – простые числа
n – натуральные числа
\[p_k^2  \leqslant n < p_{k + 1}^2 \]
\[
m_p  = \tfrac{{(p - 1)!}}
{{p!}}
\]
Общая формула при вычислении количества простых чисел на интервале (p,n) даёт искомое значение с определённой погрешностью и какие бы границы погрешности мы не установили при бесконечно большом (n) погрешность так же стремится к бесконечности, а это неприемлемо.
Что бы избежать бесконечного роста погрешности, поступим следующим образом:
Находим разницу между двумя количествами простых чисел на двух интервалах

\[
(p_k ,p\tfrac{2}
{k})(p_k ,p\tfrac{2}
{{k + 1}})
\]
То есть находим количество простых чисел на интервале
\[
(p_k^2 ,p_{k + 1}^2 )
\]
Далее, имея всё же положительную погрешность, которая будет расти до бесконечности с бесконечным ростом \[
(p_k )
\] поступаем следующим образом.
Двигаясь при вычислении количества простых чисел на интервале \[
(p_k^2 ,p_{k + 1}^2 )
\] по значениям \[
m_p 
\] от значения \[
p_k 
\] до значения \[
p_k^2 
\] мы проходим так называемую точку ноль, после которой погрешность становится отрицательной.
Последнее утверждение насколько верно, настолько же требует и продолжения работы. Особенно по так назывемым точкам ноль.
Полученые формулы с положительной и отрицательной погрешностью, дают возможность определить максимальную погрешность. Имеем:
\[(p_{k + 1}^2  - p_k^2 )m_{p_k } \] - формула определения кол. прост. чисел на интервале \[(p_k^2 ,p_{k + 1}^2 )\] с положительной погрешностью.
\[(p_{k + 1}^2  - p_k^2 )m_{p_k^2 } \] - формула с отрицательной погрешностью.
Разница между двумя этими значениями \[(p_{k + 1}^2  - p_k^2 )m_{p_k } \] - \[(p_{k + 1}^2  - p_k^2 )m_{p_k^2 } \] и даёт максимальную погрешность при определении кол. прост. чисел на интервале \[(p_k^2 ,p_{k + 1}^2 )\]
\[
(p_{k + 1}^2  - p_k^2 )m_{p_k }  - (p_{k + 1}^2  - p_k^2 )m_{p_k^2 }  = (p_{k + 1}^2  - p_k^2 )(m_{p_k }  - m_{p_k^2 } )
\] - Максимальная погрешность, но это значение ничего не даёт. Максимальная погрешность растёт до бесконечности с бесконечным ростом простых чисел \[
p_k 
\] и \[
p_{k + 1} 
\] .
Однако подойдём к проблеме с другой стороны.
\[p_k^2 m_{p_k } \] - формула определения кол. прост. чисел на интервале\[(p_{k,} p_k^2 )\]
Но при прохождении значения \[m_{p_k } \] до значения \[m_{p_k^2 } \] при каждом шаге интервал \[
(p_k ,p_k^2 )
\] уменьшается на одно простое число, которое переходит в разряд базисных чисел. И так до значения \[m_{p_k^2 } \] Когда интервал \[
(p_k^2 ,p_k^2 )
\] преврашается в ноль. И при вычислении мы получаем чистую погрешность без примеси целых чисел. Вот эта-то чистая погрешность и представляет интерес.
Занимаясь определением кол. прост. чисел, не обращаем внимание на другие направления поиска. Например, что если паралельно исследовать плотность распределения простых чисел на интервале.

\[\tfrac{1}{{m_{p_k } }}\] - плотность распределения простых чисел на интервале\[
(p_k ,n)
\] где \[
p_k^2  \leqslant n < p_{k + 1}^2 
\][/quote] :idea:[/quote]
Сергей Ситников

 
 
 
 
Сообщение06.03.2007, 18:17 
Аватара пользователя
возвращена.

 
 
 
 
Сообщение14.03.2007, 08:37 
..

 
 
 
 
Сообщение14.03.2007, 18:51 
Аватара пользователя
:evil:
Апис писал(а):
$ m_p = (\tfrac{1} {2})(\tfrac{2} {3})(\tfrac{4} {5})(\tfrac{6} {7}).....\tfrac{{p - 1}} {p} $
$ m_p = \tfrac{{(p - 1)!}} {{p!}} $ - рекуррентная формула для определения значения $ \tfrac{{(p - 1)!}} {{p!}} $

$n!$ — произведение всех натуральных чисел, не превышающих $n$, а не только простых.

Даже если Вы имеете в виду примориал (есть такая экзотика), и не оговариваете это, то для числителя (произведение простых без единички) даже термина нет…

 
 
 
 
Сообщение15.03.2007, 09:45 
..

 
 
 
 
Сообщение15.03.2007, 22:45 
Аватара пользователя
:evil:
Апис писал(а):
Посмотрите пожалуста тему кол. прост. чисел на интервале (p-n).

Честно и откровенно — лень. Если Вы хотите, чтобы кто-либо что-то смотрел, указывайте, по меньшей мере, ссылку на сообщение (страницу) (а не название темы о Бог знает сколько post'ов). А еще лучше — просто ответить на вопрос.

 
 
 
 
Сообщение16.03.2007, 11:25 
"Незваный гость" Я ничего не хочу, и боротся с вашей ленью нет у меня времени.

 
 
 
 
Сообщение24.03.2007, 11:32 
Можно ли данную формулу \[\pi (m)\] сравнить с существующей \[
\pi (n)\] и если да, то каков будет результат?

\[
\pi (m) = \sum {\left[ {(p_n^2  - p_{n - 1}^2 ) \cdot \frac{{(p_{n - 1}  - 1)!}}
{{(p_{n - 1} )!}}} \right]}  + (m - p_n^2 ) \cdot \frac{{(p_n  - 1)!}}
{{p_n !}}
\]

В идеале \[
\pi (m) - m \cdot \frac{{(p_n  - 1)!}}
{{p_n !}} = n
\] Но как на самом деле не могу определить. А определить очень нужно. Может кто поможет.

\[
\begin{gathered}
  p_n^2  \leqslant m < p_{n + 1}^2  \hfill \\
  p - 1,2,3,5,7,11,13........ \hfill \\     
  n - 1,2,3,4,5,6,7........... \hfill \\     
  p_n ! \hfill \\    
  (p_n  - 1)! \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
p - простое число
n - номер простого числа
Факториал - произведение простых чисел с первого номера до номера (n) и произведение (где каждое простое чисело уменьшено на единицу) с первого номера до номера (n)

 
 
 
 
Сообщение24.03.2007, 11:40 
Очевидно, что новая ваша формула увеличить количество простых чисел ещё больше, чем старая. Раньше было на 12 процентов, а сейчас возможно (не хочется считать точно) на 25 процентов.

 
 
 
 
Сообщение25.03.2007, 12:49 
Руст писал(а):
Очевидно, что новая ваша формула увеличить количество простых чисел ещё больше, чем старая. Раньше было на 12 процентов, а сейчас возможно (не хочется считать точно) на 25 процентов.



Ваше голословное заявление меня не убедило. В старой формуле, при нахождении кол. прост. чисел на интервале (р,п) положительная погрешность росла до бесконечности.
В новой формуле находим кол. прост. чисел на интервале (о, m) и уже первая часть формулы сумма значений кол. прост. чисел на интервалах \[
(p_n^2, p_{n - 1}^2 )
\] даёт в сумме кол. прост. чисел на интервале \[
(0,p_n^2 )
\] с отрицательной погрешностью. С самого начала вычислений, а не при каких-то очень больших числах.
Что-то сравнить с новой формулой довольно сложно если вобще возможно, это не старая формула состоящея из нескольких сомножителей. И если кто-то, что-то хочет возразить голословные заявления не принимаются.

 
 
 
 
Сообщение25.03.2007, 17:55 
Аватара пользователя
 !  PAV:
Перемещается в Карантин до исправления ошибки в цитировании в последнем посте

 
 
 
 
Сообщение08.11.2007, 18:04 
Имеем:
% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiWdaNaai
% ikaiaadchadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiCamaaDaaa
% leaacaGGVaaabaGaaGOmaaaakiaacMcacqGH9aqpcaGGOaGaamiCam
% aaDaaaleaacaGGVaaabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaadchadaahaaWc
% beqaaiaaikdaaaGccaGGPaGaeyyXICTaamyBamaaBaaaleaacaWGWb
% aabeaaaaa!4A62!
\[
\pi (p^2 ,p_/^2 ) = (p_/^2  - p^2 ) \cdot m_p 
\] - колличество простых чисел на интервале % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaadc
% hadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiCamaaDaaaleaacaGG
% VaaabaGaaGOmaaaakiaacMcaaaa!3C79!
\[
(p^2 ,p_/^2 )
\]
% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca
% aIXaaabaGaamyBamaaBaaaleaacaWGWbaabeaaaaaaaa!38CB!
\[
\frac{1}{{m_p }}
\] - плотность распределения простых чисел на интервале % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaadc
% hadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiCamaaDaaaleaacaGG
% VaaabaGaaGOmaaaakiaacMcaaaa!3C79!
\[
(p^2 ,p_/^2 )
\]
Предположим:
(приходится предполагать, так как Руст, несмотря на просьбы не хочет представить формулу, из которой следует 12% погрешность)
Итак предположим: Колличество простых чисел на интервале % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaadc
% hadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiCamaaDaaaleaacaGG
% VaaabaGaaGOmaaaakiaacMcaaaa!3C79!
\[
(p^2 ,p_/^2 )
\] получаем с погрешностью 10%. Ещё раз повторю - предполагаем, а для удобства берём 10%.
Какова же тогда погрешность при вычислении плотности % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca
% aIXaaabaGaamyBamaaBaaaleaacaWGWbaabeaaaaaaaa!38CB!
\[
\frac{1}{{m_p }}
\] распределения простых чисел на интервале % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaadc
% hadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiCamaaDaaaleaacaGG
% VaaabaGaaGOmaaaakiaacMcaaaa!3C79!
\[
(p^2 ,p_/^2 )
\]
Вобще-то даже не какая погрешность, а будет ли она разная или одинаковая и для колличества и для плотности.
Хотелось бы услышать мнение, о всей теме, участника (e2e4), был бы очень признателен.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group