И так, сначала я буду говорить о количестве простых чисел на интервале
![\[
\left( {p,n} \right)\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/6/bc66e6eec6b31958d767259a9876269e82.png "\[
\left( {p,n} \right)\]")
Где (p) - простые числа, (n) - натуральные числа, . Зависимость между (p) и (n)
![\[
p_k^2 \leqslant n < p_{k + 1}^2 \]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/b/98b9fe46ac1a1f2414a4aa339edd01bb82.png "\[
p_k^2 \leqslant n < p_{k + 1}^2 \]")
Несколько изменим задачу и будем искать количество составных чисел. Количество простых чисел в дальнейшем найдём как разницу от общего количества, количества составных чисел.
Введём новое понятие – базисное число и базис.
Базисное число – простые числа и числа, имеющие множителями (без повторов) простые числа.
Базис от базисного числа – количество составных чисел, имеющие множителем, базисное число.
Если (n) количество чисел в интервале (0,n) тогда:
![\[\tfrac{n}{2}\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/5/e95a38a386ad8c053537cd13bcfaeb7f82.png "\[\tfrac{n}{2}\]")
- базис от базисного числа 2
![\[\tfrac{n}{3}\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/c/b1c1220928bbbc2d70c717c27d9056c282.png "\[\tfrac{n}{3}\]")
- базис от базисного числа 3
![\[\tfrac{n}{6}\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/d/dbddc7de7bec6b5eeceb433032f77fb582.png "\[\tfrac{n}{6}\]")
- базис от базисного числа 6
![\[\tfrac{n}{5}\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/a/e5a2dc638a00bebdeec10684cd5d772a82.png "\[\tfrac{n}{5}\]")
- базис от базисного числа 5
![\[\tfrac{n}{{15}}\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/a/a5ad2cada5297f01ae95206fb9c30b1e82.png "\[\tfrac{n}{{15}}\]")
- базис от базисного числа 15 и.т.д.
Для определения количества простых чисел, от общего количества (n) отнимаем базис от 2 далее отнимаем базис от 3 и прибавляем базис от 6, что бы скомпенсировать повторы в базисах от 2 и от 3 и.т.д.
![\[n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} - \tfrac{n}{5} + \tfrac{n}{{10}} + \tfrac{n}{{15}} - \tfrac{n}{{30}}\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/0/bd0da92a97cf4adc2c866e2d5126655182.png "\[n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} - \tfrac{n}{5} + \tfrac{n}{{10}} + \tfrac{n}{{15}} - \tfrac{n}{{30}}\]")
.....и.т.д.
Единица входит в количество простых чисел, так как она не присутствует ни в одном из базисов.
Двигаемся дальше:
Выражение
.... приведём к виду удобному для вычислений
![\[
\begin{gathered}
n - \tfrac{n}
{2} - \tfrac{n}
{3} + \tfrac{n}
{6} - \tfrac{n}
{5}(n - \tfrac{n}
{2} - \tfrac{n}
{3} + \tfrac{n}
{6}) = \hfill \\
(n - \tfrac{n}
{2} - \tfrac{n}
{3} + \tfrac{n}
{6})(1 - \tfrac{1}
{5}) = \hfill \\
(n - \tfrac{n}
{2}) - \tfrac{1}
{3}(n - \tfrac{n}
{2})(1 - \tfrac{1}
{5}) = \hfill \\
(n - \tfrac{n}
{2})(1 - \tfrac{1}
{3})(1 - \tfrac{1}
{5}) = \hfill \\
n(1 - \tfrac{1}
{2})(1 - \tfrac{1}
{3})(1 - \tfrac{1}
{5}) = \hfill \\
n(\tfrac{1}
{2})(\tfrac{2}
{3})(\tfrac{4}
{5}) \hfill \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/7/ff7d58bf9579525e93ed39c7e372529082.png "\[
\begin{gathered}
n - \tfrac{n}
{2} - \tfrac{n}
{3} + \tfrac{n}
{6} - \tfrac{n}
{5}(n - \tfrac{n}
{2} - \tfrac{n}
{3} + \tfrac{n}
{6}) = \hfill \\
(n - \tfrac{n}
{2} - \tfrac{n}
{3} + \tfrac{n}
{6})(1 - \tfrac{1}
{5}) = \hfill \\
(n - \tfrac{n}
{2}) - \tfrac{1}
{3}(n - \tfrac{n}
{2})(1 - \tfrac{1}
{5}) = \hfill \\
(n - \tfrac{n}
{2})(1 - \tfrac{1}
{3})(1 - \tfrac{1}
{5}) = \hfill \\
n(1 - \tfrac{1}
{2})(1 - \tfrac{1}
{3})(1 - \tfrac{1}
{5}) = \hfill \\
n(\tfrac{1}
{2})(\tfrac{2}
{3})(\tfrac{4}
{5}) \hfill \\
\end{gathered}
\]")
![\[
m_p = (\tfrac{1}
{2})(\tfrac{2}
{3})(\tfrac{4}
{5})(\tfrac{6}
{7}).....\tfrac{{p - 1}}
{p}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/0/2d0d3e24acb16d29eadbf10d3c83b2c482.png "\[
m_p = (\tfrac{1}
{2})(\tfrac{2}
{3})(\tfrac{4}
{5})(\tfrac{6}
{7}).....\tfrac{{p - 1}}
{p}
\]")
![\[
m_p = \tfrac{{(p - 1)!}}
{{p!}}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/f/27f46c7754ee026c860dea3b429ff4c682.png "\[
m_p = \tfrac{{(p - 1)!}}
{{p!}}
\]")
- рекуррентная формула для определения значения
![\[
\tfrac{{(p - 1)!}}
{{p!}}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/9/8996e911ef54701652a10d492304081782.png "\[
\tfrac{{(p - 1)!}}
{{p!}}
\]")
Исходя из выше изложенного, выводим общую формулу для определения количества простых чисел на интервале (p,n) -
![\[m_p n\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/6/d867922b73dc697c105248204766803182.png "\[m_p n\]")
p – простые числа
n – натуральные числа
![\[p_k^2 \leqslant n < p_{k + 1}^2 \]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/7/4570a552be336a03091ed5a9898dc0cf82.png "\[p_k^2 \leqslant n < p_{k + 1}^2 \]")
Общая формула при вычислении количества простых чисел на интервале (p,n) даёт искомое значение с определённой погрешностью и какие бы границы погрешности мы не установили при бесконечно большом (n) погрешность так же стремится к бесконечности, а это неприемлемо.
Что бы избежать бесконечного роста погрешности, поступим следующим образом:
Находим разницу между двумя количествами простых чисел на двух интервалах
![\[
(p_k ,p\tfrac{2}
{k})(p_k ,p\tfrac{2}
{{k + 1}})
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/9/d79528d4d730508a27e790fa41cd319082.png "\[
(p_k ,p\tfrac{2}
{k})(p_k ,p\tfrac{2}
{{k + 1}})
\]")
То есть находим количество простых чисел на интервале
![\[
(p_k^2 ,p_{k + 1}^2 )
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/a/aba520dd248bd0b49f217c4c6f1a92dd82.png "\[
(p_k^2 ,p_{k + 1}^2 )
\]")
Далее, имея всё же положительную погрешность, которая будет расти до бесконечности с бесконечным ростом
![\[
(p_k )
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/e/63ee47f22d23553c40309a88101ba10682.png "\[
(p_k )
\]")
поступаем следующим образом.
Двигаясь при вычислении количества простых чисел на интервале
по значениям
![\[
m_p
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/f/87f96006366f1af6c553725142fd015582.png "\[
m_p
\]")
от значения
![\[
p_k
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/f/09f1daa3a67265560c9c041ed18e180f82.png "\[
p_k
\]")
до значения
![\[
p_k^2
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/0/f80eb1e0bd1ef4916a5179fc6cf2d4d082.png "\[
p_k^2
\]")
мы проходим так называемую точку ноль, после которой погрешность становится отрицательной.
Последнее утверждение насколько верно, настолько же требует и продолжения работы. Особенно по так назывемым точкам ноль.
Полученые формулы с положительной и отрицательной погрешностью, дают возможность определить максимальную погрешность. Имеем:
![\[(p_{k + 1}^2 - p_k^2 )m_{p_k } \]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/d/46d959dbd017effa77a965da71a8570182.png "\[(p_{k + 1}^2 - p_k^2 )m_{p_k } \]")
- формула определения кол. прост. чисел на интервале
![\[(p_k^2 ,p_{k + 1}^2 )\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/0/d306613a8f1a764165a2b4e183f5e7a382.png "\[(p_k^2 ,p_{k + 1}^2 )\]")
с положительной погрешностью.
![\[(p_{k + 1}^2 - p_k^2 )m_{p_k^2 } \]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/7/aa7b414da1f5bd3ba1971b78b4259f9a82.png "\[(p_{k + 1}^2 - p_k^2 )m_{p_k^2 } \]")
- формула с отрицательной погрешностью.
Разница между двумя этими значениями
-
и даёт максимальную погрешность при определении кол. прост. чисел на интервале
![\[
(p_{k + 1}^2 - p_k^2 )m_{p_k } - (p_{k + 1}^2 - p_k^2 )m_{p_k^2 } = (p_{k + 1}^2 - p_k^2 )(m_{p_k } - m_{p_k^2 } )
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/a/b6a3083f63ba7f2d62bef45e9bd5473b82.png "\[
(p_{k + 1}^2 - p_k^2 )m_{p_k } - (p_{k + 1}^2 - p_k^2 )m_{p_k^2 } = (p_{k + 1}^2 - p_k^2 )(m_{p_k } - m_{p_k^2 } )
\]")
- Максимальная погрешность, но это значение ничего не даёт. Максимальная погрешность растёт до бесконечности с бесконечным ростом простых чисел
и
![\[
p_{k + 1}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/6/e36fc989e48b78f4ca64ffc81a5f185e82.png "\[
p_{k + 1}
\]")
.
Однако подойдём к проблеме с другой стороны.
![\[p_k^2 m_{p_k } \]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/3/ed3b43259428a18012e6d2229fa6503182.png "\[p_k^2 m_{p_k } \]")
- формула определения кол. прост. чисел на интервале
![\[(p_{k,} p_k^2 )\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/8/aa8b53e54b68dd702fe28889fcdda86c82.png "\[(p_{k,} p_k^2 )\]")
Но при прохождении значения
![\[m_{p_k } \]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/9/159b1a9ac21f4d0d1d73319635af700582.png "\[m_{p_k } \]")
до значения
![\[m_{p_k^2 } \]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/8/928f1f7473f43508a7846e2d23b75e7d82.png "\[m_{p_k^2 } \]")
при каждом шаге интервал
![\[
(p_k ,p_k^2 )
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/a/eea8cdc393ee43870cf4feeb964dea3c82.png "\[
(p_k ,p_k^2 )
\]")
уменьшается на одно простое число, которое переходит в разряд базисных чисел. И так до значения
Когда интервал
![\[
(p_k^2 ,p_k^2 )
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/0/620772554e6906afaeea70c962f5877a82.png "\[
(p_k^2 ,p_k^2 )
\]")
преврашается в ноль. И при вычислении мы получаем чистую погрешность без примеси целых чисел. Вот эта-то чистая погрешность и представляет интерес.
Занимаясь определением кол. прост. чисел, не обращаем внимание на другие направления поиска. Например, что если паралельно исследовать плотность распределения простых чисел на интервале.
![\[\tfrac{1}{{m_{p_k } }}\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/0/b10ad0acb034d24ccfa132e5bfd1619a82.png "\[\tfrac{1}{{m_{p_k } }}\]")
- плотность распределения простых чисел на интервале
![\[
(p_k ,n)
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/5/055a17bc1ba6725ac7f080fece34a30582.png "\[
(p_k ,n)
\]")
где
![\[
p_k^2 \leqslant n < p_{k + 1}^2
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/f/84f1817a4b35ee7806e2a67ab864e37382.png "\[
p_k^2 \leqslant n < p_{k + 1}^2
\]")
[/quote]
[/quote]
Сергей Ситников
03.03.2007, 19:23 
- рекуррентная формула для определения значения 
— произведение 
, а не только простых.
![\[\pi (m)\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/c/acc7ae6790b7299e3457b2bc2e8eb31882.png "\[\pi (m)\]")
сравнить с существующей ![\[
\pi (n)\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/c/81c11f3a915ca277654be190a04bc67d82.png "\[
\pi (n)\]")
и если да, то каков будет результат?
![\[
\pi (m) = \sum {\left[ {(p_n^2 - p_{n - 1}^2 ) \cdot \frac{{(p_{n - 1} - 1)!}}
{{(p_{n - 1} )!}}} \right]} + (m - p_n^2 ) \cdot \frac{{(p_n - 1)!}}
{{p_n !}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/a/50a945a6176514056f93393b6f86984382.png "\[
\pi (m) = \sum {\left[ {(p_n^2 - p_{n - 1}^2 ) \cdot \frac{{(p_{n - 1} - 1)!}}
{{(p_{n - 1} )!}}} \right]} + (m - p_n^2 ) \cdot \frac{{(p_n - 1)!}}
{{p_n !}}
\]")
![\[
\pi (m) - m \cdot \frac{{(p_n - 1)!}}
{{p_n !}} = n
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/8/498ad82e85013447306dd6578bb4b2b682.png "\[
\pi (m) - m \cdot \frac{{(p_n - 1)!}}
{{p_n !}} = n
\]")
Но как на самом деле не могу определить. А определить очень нужно. Может кто поможет.
![\[
\begin{gathered}
p_n^2 \leqslant m < p_{n + 1}^2 \hfill \\
p - 1,2,3,5,7,11,13........ \hfill \\
n - 1,2,3,4,5,6,7........... \hfill \\
p_n ! \hfill \\
(p_n - 1)! \hfill \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/0/5c01c438deea5fbcf68ede9e6ebcb49582.png "\[
\begin{gathered}
p_n^2 \leqslant m < p_{n + 1}^2 \hfill \\
p - 1,2,3,5,7,11,13........ \hfill \\
n - 1,2,3,4,5,6,7........... \hfill \\
p_n ! \hfill \\
(p_n - 1)! \hfill \\
\end{gathered}
\]")
![\[
(p_n^2, p_{n - 1}^2 )
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/1/e6106676686466917c38a3dee6f7162d82.png "\[
(p_n^2, p_{n - 1}^2 )
\]")
даёт в сумме кол. прост. чисел на интервале ![\[
(0,p_n^2 )
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/2/0e298ed956e3dafe208996d97db78d8182.png "\[
(0,p_n^2 )
\]")
с отрицательной погрешностью. С самого начала вычислений, а не при каких-то очень больших числах.
![% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiWdaNaai
% ikaiaadchadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiCamaaDaaa
% leaacaGGVaaabaGaaGOmaaaakiaacMcacqGH9aqpcaGGOaGaamiCam
% aaDaaaleaacaGGVaaabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaadchadaahaaWc
% beqaaiaaikdaaaGccaGGPaGaeyyXICTaamyBamaaBaaaleaacaWGWb
% aabeaaaaa!4A62!
\[
\pi (p^2 ,p_/^2 ) = (p_/^2 - p^2 ) \cdot m_p
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/1/cf15550e59e6c1806543f8bbf40ed6bb82.png "% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiWdaNaai
% ikaiaadchadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiCamaaDaaa
% leaacaGGVaaabaGaaGOmaaaakiaacMcacqGH9aqpcaGGOaGaamiCam
% aaDaaaleaacaGGVaaabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaadchadaahaaWc
% beqaaiaaikdaaaGccaGGPaGaeyyXICTaamyBamaaBaaaleaacaWGWb
% aabeaaaaa!4A62!
\[
\pi (p^2 ,p_/^2 ) = (p_/^2 - p^2 ) \cdot m_p
\]")
- колличество простых чисел на интервале ![% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaadc
% hadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiCamaaDaaaleaacaGG
% VaaabaGaaGOmaaaakiaacMcaaaa!3C79!
\[
(p^2 ,p_/^2 )
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/4/55467ecafccfa852a774dfa2c412490e82.png "% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaadc
% hadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiCamaaDaaaleaacaGG
% VaaabaGaaGOmaaaakiaacMcaaaa!3C79!
\[
(p^2 ,p_/^2 )
\]")
![% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca
% aIXaaabaGaamyBamaaBaaaleaacaWGWbaabeaaaaaaaa!38CB!
\[
\frac{1}{{m_p }}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/0/0807864afb075f0b07b45c57d71a18fe82.png "% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca
% aIXaaabaGaamyBamaaBaaaleaacaWGWbaabeaaaaaaaa!38CB!
\[
\frac{1}{{m_p }}
\]")
- плотность распределения простых чисел на интервале