Тройной интеграл с помощью цилиндрических координат

[Elie Fourier]

Здравствуйте, к сожалению впервые пришлось иметь дело с цилиндрическими координатами, прошу подсказать где моя ошибка.

Текст задания: вычислить тройной интеграл с помощью цилиндрических или сферических координат.

$$ \iiint\limits_{V} \frac{y^2 z}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}} dx dy dz $$ $$V : y\geqslant0, y\leqslant\sqrt{3}x, z=3(x^2+y^2), z=3 $$

Исходя из описанного задания я понял, что область интегрирования есть часть параблоида вращения, ограниченного плоскостями

$$ y=0, z=3, y=\sqrt{3} x $$

Выбрал цилиндрические координаты, все подставил, получил:

$$ \iiint\limits_{V} \frac{z \sin^2{\varphi}}{r} d\varphi dr dz $$

Перехожу к повторному интегралу:

$$ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2{\varphi} d\varphi \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{r} dr \int\limits_{3r^2}^{3} z dz$$

Дальше видно, что интеграл расходится. Однако рядом с заданием есть ответ, причем вполне нормальный.

[ex-math]

Вам что-нибудь говорит термин "якобиан"?

[Elie Fourier]

Да, я его учитывал. Или я неправильно перешел все-таки?

[ex-math]

Нет, забыли.В итоге -- лишнее $r$ в знаменателе.

[Elie Fourier]

Действительно, и не заметил сразу. Спасибо большое.

[Lapana]

Elie Fourier
А почему у вас угол изменяется в таких пределах?

[kirsim]

Lapana в сообщении #949245 писал(а):

Elie Fourier
А почему у вас угол изменяется в таких пределах?

С углом там всё порядке, отсчёт от оси икс ведётся. Верхний предел - арктангенс от $\sqrt{3}$.