Диффур, интегрирование по частям и рекуррентное соотношение

[Ktina]

Упражняясь в интегрировании по частям, я стала решать для каждого натурального $n$ вот такой диффур:

$$xy^{(n)}=1$$

И заметила интересную закономерность:

$$xy'=1\to y=\ln x+C$$

$$xy''=1\to y=x(\ln x-1)+C_1x+C_2$$

$$xy'''=1\to y=\frac{x^2}{4}(2\ln x-3)+C_1x^2+C_2x+C_3$$

$$xy^{(4)}=1\to y=\frac{x^3}{36}(6\ln x-11)+C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$

$$xy^{(5)}=1\to y=\frac{x^4}{288}(12\ln x-25)+C_1x^4+C_2x^3+C_3x^2+C_4x+C_5$$

$$xy^{(6)}=1\to y=\frac{x^5}{7200}(60\ln x-137)+C_1x^5+C_2x^4+C_3x^3+C_4x^2+C_5x+C_6$$

Что за рекуррентное соотношение здесь вырисовывается и как найти общую формулу?

[Shadow]

$y=\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}(\ln x - H_{n-1})+\cdots$
$H_{n-1}$ - сумма гармонического ряда
$H_{n-1}=\sum\limits_{k=1}^{n-1} 1/k$

[Ktina]

Shadow в сообщении #655461 писал(а):

$y=\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}(\ln x - H_{n-1})+\cdots$
$H_{n-1}$ - сумма гармонического ряда
$H_{n-1}=\sum\limits_{k=1}^{n-1} 1/k$

Факториал тут явно не годится. Может, двойной?
Пардон, подходит Ваше отношение. Спасибо!

[olenellus]

Ничего интересного. Отнесите $(n-1)$-ю степень $x$ в часть с произвольными константами, и закономерность сразу бросится в глаза.

[Ktina]

olenellus в сообщении #655464 писал(а):

Ничего интересного. Отнесите $(n-1)$-ю степень $x$ в часть с произвольными константами, и закономерность сразу бросится в глаза.

Что-то пока не хочет бросаться.

[olenellus]

Смотрите, решение для каждого $n$ у Вас выглядит как

$$Ax^{n-1}\ln x+Bx^{n-1}+\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_ix^i$$

Так как константы произвольные, Вы можете без потери общности включить второй член в последнюю сумму. Ну а с рекурентным соотношением для $A$ Вы быстро разберётесь.

[Ktina]

olenellus в сообщении #655469 писал(а):

Смотрите, решение для каждого $n$ у Вас выглядит как

$$Ax^{n-1}\ln x+Bx^{n-1}+\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_ix^i$$

Так как константы произвольные, Вы можете без потери общности включить второй член в последнюю сумму. Ну а с рекурентным соотношением для $A$ Вы быстро разберётесь.

Спасибо, сейчас попробую.
И странно, почему Альфа молчит.

[Shadow]

Ktina в сообщении #655462 писал(а):

Факториал тут явно не годится. Может, двойной?

Тройной. Ktina, раскройте скобки и сократите там $2/4, 6/36, 12/288, 60/7200$

[olenellus]

Да, хотел бы добавить, что это ещё не доказательство, а только догадка. При таких догадках могут случаться неприятные казусы. Доказательство следует из алгоритма получения решения.

[ewert]

olenellus в сообщении #655479 писал(а):

Доказательство следует из алгоритма получения решения.

Для доказательства достаточно тупо проверить индукционный переход.

[Ms-dos4]

А разве "в лоб" решить не получится? Элементарно доказывается, что уравнение вида
$\[{y^{(n)}}(x) = f(x)\]$
имеет решение
$\[y(x) = \frac{1}{{(n - 1)!}}\int\limits_{{x_0}}^x {{{(x - \xi )}^{n - 1}}f(\xi )d\xi } + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{A_k}{x^k}} \]$
В нашем случае
$\[y(x) = \frac{1}{{(n - 1)!}}\int\limits_{{x_0}}^x {\frac{{{{(x - \xi )}^{n - 1}}}}{\xi }d\xi } + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{A_k}{x^k}} \]$
Интеграл берём(сначала выпишу неопред.) раскладывая по биному Ньютона числитель
$\[\int {\frac{{{{(x - \xi )}^{n - 1}}}}{\xi }d\xi } = \int {\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{x^{n - k - 1}}{\xi ^{k - 1}}} d\xi } = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{x^{n - k - 1}}C_{n - 1}^k\int {{\xi ^{k - 1}}d\xi } } = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{{x^{n - k - 1}}C_{n - 1}^k}}{k}{\xi ^k}} + {x^{n - 1}}\ln \xi \]$
Теперь определённый (положим для удобства $\[{x_0} = 1\]$)
$\[\int\limits_1^x {\frac{{{{(x - \xi )}^{n - 1}}}}{\xi }d\xi } = {x^{n - 1}}(\ln x + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{C_{n - 1}^k}}{{{x^k}k}}({x^k} - 1)} )\]$
Видно, что вся сумма умноженная на $\[{x^{n - 1}}\]$ может быть внесена в часть с произвольными константами
Тогда после подстановки в исходную формулу имеем
$\[y(x) = \frac{{{x^{n - 1}}}}{{(n - 1)!}}\ln x + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{A_k}{x^k}} \]$

[Oleg Zubelevich]

Ktina в сообщении #655442 писал(а):

о натурального $n$ вот такой диффур:

$$xy^{(n)}=1$$

преобразование Фурье в промощь