Равномерная сходимость интеграла, зависящего от параметра

[Focus]

Хочу, пользуясь критерием Коши, доказать равномерную сходимость интеграла $\int_{0}^{+\infty} \cos (\alpha x^{2}) dx$, который я исследую на $[1, +\infty)$. После замены $\alpha x^{2} = t$ у меня получается, что
$\left|\int_{b_1}^{b_2} \cos (\alpha x^{2}) dx\right| = \frac{1}{2\sqrt{\alpha }}\left|\int_{\alpha (b_1)^2}^{\alpha (b_2)^2} \frac{\cos (t)}{\sqrt{t}} dt\right|$. Тут мне вспоминается интеграл Френеля, но я не знаю, как поступить с пределами интегрирования.

[SpBTimes]

От альфа интеграл у вас не зависит после замены. Он сходится условно - и все, так что конечно равномерно

[Focus]

$\int_{b_1}^{b_2} \cos (\alpha x^{2}) dx$
$\alpha x^2 = t, dt = 2 \alpha x dx, x = \sqrt{\frac{t}{\alpha}}; x=b_1, t=\alpha (b_1)^2; x=b_2, t =\alpha (b_2)^2 $
Что я не так делаю?

[Focus]

Видимо, если сделать замену в исходном интеграле, он сведётся как раз к интегралу Френеля, получится
$\frac{1}{2 \sqrt{\alpha}} \int_{0}^{+\infty}\frac{\cos t}{\sqrt{t}}dt = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}}$, если оценить по худшему варианту ($\alpha = 1$), будет $\frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}} < \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{2}} = 2 \varepsilon$
И выходит, что сходится равномерно по определению, правильно я понимаю?