Несобственный интеграл

[Limit79]

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}} $

Подынтегральная функция не определена как при $x=0$, так и при $x=1$, то есть необходимо сделать такой переход:

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}} = \lim_{a \to 0+0, b \to 1-0} \int_{a}^{b} \frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}$ или не такой?

Потом нашел, что: $\int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{2} \ln\left |\frac{\sqrt{1-x^2}-1}{\sqrt{1-x^2}+1}\right | $

$\lim_{a \to 0+0, b \to 1-0} \int_{a}^{b} \frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}} = \lim_{a \to 0+0, b \to 1-0}\left( \frac{1}{2} \ln\left |\frac{\sqrt{1-b^2}-1}{\sqrt{1-b^2}+1}\right | - \frac{1}{2} \ln\left |\frac{\sqrt{1-a^2}-1}{\sqrt{1-a^2}+1}\right | \right)= \infty $

То есть интеграл расходится. А можно ли как-то по-проще сделать?

[gris]

Как это у Вас интеграл от положительной функции разошёлся к минус бесконечности?
А, Вы знак перепутали. $\int\limits _a^b=F(b)-F(a)$
Посмотрите, в какой именно несобственности интеграл расходится? В ней и сравните со степенью, при необходимости сделав замену переменной. Да и так не сложно.

[Limit79]

gris
Спасибо, исправил.

-- 05.12.2012, 20:25 --

Просто первый раз такой интеграл встречаю, у которого в обоих пределах интеграла подынтегральная функция не существует.

Или же нужно разделить вот так: $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}} = \lim_{a \to 0+0} \int_{a}^{0.5} \frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}} + \lim_{b \to 1-0} \int_{0.5}^{b} \frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}$ ?

[bot]

А ещё бывает и внутри. Здесь совсем всё просто - около нижнего предела интегрирования можно выбросить корень, а около верхнего - $x$.