Интеграл от непрерывной функции

[Юстас]

Пусть $f(x)$ непрерывна на $[0;1]$ и $\int\limits_0^1 f(x)dx=0$. Докажите, что существует $t\in [0;1]: \ \int\limits_0^t xf(x)dx=0$.

[RIP]

$t=0$

[Руст]

По видимому, Юстас имел в виду $t\in (0,1).$

[Юстас]

Да, я имел в виду $t\in (0,1)$

[Антипка]

Для случая $f(x) \equiv 0$ все очевидно, рассматриваем случай, когда f(x) отлична от нуля хотя бы в одной точке. Положим:

$F(x)=\int\limits_0^x{f(t)dt}$,
$G(x) = \left\{ \begin{gathered} 0,x = 0 \hfill \\ \frac{1} {x}\int\limits_0^x {F(t)dt,0 < x \leqslant 1} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Очевидно, F(x) и G(x) непрерывны на [0,1], кроме того, F(0)=F(1)=0.
берем наш интеграл по частям:

$g(x) = \int\limits_0^x {tf(t)dt = } \int\limits_0^x {tF'(t)dt = } tF(t)\left| {_{t = 0}^{t = x} } \right. - \int\limits_0^x {F(t)dt = x(F(x) - G(x))} $

Легко показать, что:
$\exists x_1 \in (0,1]:F(x_1 ) = 0\& G(x_1 ) \ne 0$
Действительно, если это не так, то f(x) тождественно равна нулю на [0,1]. Рассмотрим любое такое $x_1$, положим для определенности $G(x_1)>0$. Но тогда на интервале $(0,x_1)$ существует точка $x'$, в которой функция F(x) достигает максимального на отрезке $[0,x_1]$ значения. Очевидно, $F(x')>0$, также, очевидно, $F(x')>G(x')$. Приняв во внимание, что $0=F(x_1)<G(x_1)$ и учтя непрерывность функций F(x), G(x), получаем, что на интервале $(x',x_1)$ существует точка t, такая, что $F(t)=G(t)$, т.е. g(t)=0, что и требовалось доказать.

[Руст]

Ваше доказательство не проходит в случае $G(x_1)<0$. Исправлять легко взяв в качестве базовых точек $F(x_1)=max_x F(x), \ F(x_2)=min_x F(x)$ точки максимума и минимума функции F(x). Тогда между ними существует t.

[Антипка]

Руст, я же сказал, - возьмем ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. Ежу понятно, что в случае $G(x_1)<0$ надо брать точку минимума. По-моему, это очевидно. Хотя ваш вариант, на первый взгляд, лучше (не надо рассматривать два отдельных случая), но на "второй взгляд" там тоже придется рассматривать отдельные случаи, когда минимум или максимум F(x) равен 0.

[heap]

Пусть $H(t)=\int\limits_0^t xf(x)dx;$
Тогда $H(1)+\int\limits_0^1 \frac {H(t)dt} {t^2} = 0$ , что невозможно, если , H(t) не меняет знак или не равно тождественно нулю на [0,1].
Впрочем, по сути это решение мало отличается от приведенного выше.