простая задачка по нормир.пространствам

[daedra]

Здравствуйте, дорогие математики!

Уже давно прорешиваю задачки из Треногина, Писаревского. Когда находишь решение к какому-либо заданию, почти всегда есть определенная уверенность, что решение верно. (К тому же этому способствует простое просматривание варианта решения предлагаемое автором в конце задачника). Но есть такие задачки, вроде бы решил, а что-то все равно смущает. Задача в самом начале курса, ушел по задачнику уже до второго параграфа, а эту никак не пойму что не так.

Может кто-нибудь объяснит как более формально решить следующую задачу:
$D_r(a)\subset D_R(b)\subset X$ -- нормированное пространство. Доказать, что $r\leqslant R$, и $\lVert a-b\rVert \leqslant R-r$.

[xmaister]

Если $X$ над $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$, то вроде бы ясно, как доказывать. Если не понятно над чем, то не понятно...

[ewert]

Ну, если нарисовать те два кружка и провести луч из центра внешнего через центр внутреннего, то всё ведь очевидно, не так ли? Остаётся лишь эту очевидность формализовать. Так задайте этот луч как множество точек $\{\vec x=\vec b+t\vec e\}_{t\in[0;+\infty)}$, где $\vec e=\frac{\vec a-\vec b}{\|\vec a-\vec b\|}.$ Из аксиом нормы следует, что $\vec x|_{t=\|\vec a-\vec b\|}=\vec a$ и что $\vec x|_{t=\|\vec a-\vec b\|+s}\in D_r(a)$ при всех $s\in[0;r)$. Отсюда сразу же $\|\vec a-\vec b\|+s\leqslant R$ при всех $s<r$ и, следовательно, $\|\vec a-\vec b\|+r\leqslant R$.

[daedra]

Спасибо, для меня наверно не совсем очевидно. Т.е. здесь необходимо было пользоваться тем, что $X$ -- линейное пространство? И если решать только через неравенство треугольника, то этого недостаточно будет?

[ewert]

daedra в сообщении #654621 писал(а):

Т.е. здесь необходимо было пользоваться тем, что $X$ -- линейное пространство? И если решать только через неравенство треугольника, то этого недостаточно будет?

Безусловно. Поскольку в только метрических пространствах это утверждение просто неверно -- там радиус вписанного шара вполне может быть больше радиуса описанного.

[daedra]

ewert, большое спасибо!