Отображение множества

[Ward]

Найти образ $\arg z=\frac{\pi}{4}$ при отображении $w=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$

Мое решение: Числа $z$ такие, что $\arg z=\frac{\pi}{4}$ можно параметризовать как $z=re^{i\frac{\pi}{4}}$, где $r>0$
Тогда при действии функции Жуковского эти точки переходят в:

$$\frac{1}{2}\left(re^{i\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{r}e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)=\frac{1}{2}\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos \frac{\pi}{4}+\frac{i}{2}\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin \frac{\pi}{4}$$

Первое слагаемое я обозначаю через $x$, а второе слагаемое через $y$
Получаю, что $\frac{2x}{\cos \frac{\pi}{4}}=u$ и $\frac{2y}{\sin \frac{\pi}{4}}=v,$ где

$$\begin{cases} u=r+\frac{1}{r} \\ v=r-\frac{1}{r} \end{cases}$$

Отсюда получаем, что $\frac{u+v}{2}=\frac{2}{u-v},$ а отсюда $x^2-y^2=\frac{1}{2}$
Т.е. образом $\arg{z}=\frac{\pi}{4}$ будет гипербола.
Верно? В книге написано, что образом будет правая ветвь гиперболы.

[alcoholist]

верно

правая ветвь выделяется условием $r>0$