пересечение двух компактов

[tavrik]

даны два множества, $F, K$ в ${R^2}$, $F\cap{K}=\varnothing$
1) доказать, что если оба множества компактны то $ifn{\lVert x-y \rVert; x\in{K}, y\in{F}}>0$

норма она вообще неотрицательно. нужно доказать, что не равна нулю.
от противного видимо, верно?

2) если оба множества закрыты и до сих пор непересекаются - останется ли утверждение верным?
потеряна ограниченность. но на "расстояние между множествами" - это повлияет?
тут не знаю. мне кажется, что не повлияет.
примеры как с множествами чисел на прямой лезут в голову. но они все - открытые.

ну и 3)
будет ли утверждение верным, если $F$ закрытое множество а $K={x}, x\notin{F}$
если точка не в закрытом множестве - то инфимум будет больше нуля. то есть утверждение до сих пор верно?

[alcoholist]

tavrik в сообщении #654441 писал(а):

норма она вообще неотрицательно. нужно доказать, что не равна нулю

норма -- непрерывная функция по каждому из аргументов

непрерывная функция на компакте...

-- Ср дек 05, 2012 11:36:44 --

tavrik в сообщении #654441 писал(а):

что не повлияет

повлияет

[tavrik]

ага. первое тривиально получается. второе буду искать пример.

[alcoholist]

tavrik в сообщении #654450 писал(а):

второе буду искать пример.

на прямой вряд ли, а вот на школьной плоскости уже есть

[ewert]

tavrik в сообщении #654450 писал(а):

второе буду искать пример.

Посмотрите на какие-нибудь гиперболы.

tavrik в сообщении #654441 писал(а):

ну и 3)
будет ли утверждение верным, если $F$ закрытое множество а $K={x}, x\notin{F}$

Дело в том, что первое утверждение было сформулировано слишком слабо. Там достаточно того, чтобы хотя бы одно из множеств было компактом, тогда от другого требуется лишь замкнутость.

-- Ср дек 05, 2012 12:46:31 --

alcoholist в сообщении #654453 писал(а):

на прямой вряд ли,

Почему? Никто же не говорит, что эти множества должны быть связными.