2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Упростить (двойные суммы)
Сообщение01.03.2007, 23:39 


26/09/05
530
См.Я упрощаю формулу:
$$
\sum\limits_{s = 1}^q {\sum\limits_{j = 0}^\infty  {s \cdot \lambda ^{s + j}  \cdot z^j } }  = \left[ \begin{array}{l}
 s + j = m \\ 
  \\ 
 \end{array} \right] = \sum\limits_{m = 1}^\infty  {\sum\limits_{s = 1}^{\min (q,m)} {\lambda ^m  \cdot z^{m - s}  \cdot ?} } 
$$
На что надо умножить,чтобы формулу получились одинаковыми?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.03.2007, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
На $s$. Сумма показателя степени $z$ и коэффициента равна показателю степени $\lambda$.

Цель немного мутная, поскольку все считается: $\frac{\lambda(1-\lambda^q-q \lambda^q+q \lambda^{q+1})}{(1-\lambda)^2(1-\lambda z)}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2007, 07:54 


26/09/05
530
незваный гость как это Ввы сосчитали эту формулу? :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2007, 09:37 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Несколько раз применяются суммы геометрической прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2007, 09:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
$ \sum\limits_{s = 1}^q {\sum\limits_{j = 0}^\infty {s \cdot \lambda ^{s + j} \cdot z^j } } = $ $ \sum\limits_{s = 1}^q s \lambda^s {\sum\limits_{j = 0}^\infty {\lambda ^{ j} \cdot z^j } } = $ $ (\sum\limits_{s = 1}^q s \lambda^s) ( {\sum\limits_{j = 0}^\infty {(\lambda z)  ^{ j}  } }) = $ $\lambda (\sum\limits_{s = 1}^q s \lambda^{s-1}) (\frac{1}{1-\lambda }) = $ $\frac{\lambda}{1 - \lambda z} \ \frac{\rm d}{{\rm d} \lambda} \sum\limits_{s=0}{q} \lambda^s = $ $\frac{\lambda}{1 - \lambda z} \ \frac{\rm d}{{\rm d} \lambda} \frac{1-\lambda^{q+1}}{1-\lambda}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.03.2007, 23:50 


26/09/05
530
если в формуле
$$
\sum\limits_{k=1}^q \sum\limits_{j=0}^N S_{k+j} c_j z^j
$$
сделать замену $k+j=m$, то как изменится эта формула?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2007, 17:07 


26/09/05
530
Ну как изменится-то?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2007, 18:04 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Кажется, получится так:

$$
\sum\limits_{k=1}^q \sum\limits_{j=0}^N S_{k+j} c_j z^j=\sum\limits_{m=1}^{q+N} S_m \sum\limits_{j=\max(0,m-q)}^{\min(N,m-1)} c_j z^j
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2007, 19:47 


26/09/05
530
Как записать в виде факториала такое выражение в зависимости от $s$. Например,
$$
s=5: 1*3, 
s=7: 1*3*5, 
s=9: 1*3*5*7
$$
и такое выражение/ y
$$
s=5: 2*4,
s=7: 2*4*6,
s=9: 2*4*6*8
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2007, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
1) $(s-2)!!$
2) $(s-1)!!$

Двойной факториал $n!!$— суть произведение чисел одинаковой с $n$ четности и не превосходящих $n$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2007, 21:17 


26/09/05
530
А можно такую формулу упростить:
$$
\frac{(s-1)! (s-1)!!}{(s-2)!!}
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2007, 21:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
$(s-1)!=(s-2)!!(s-1)!!$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2007, 21:39 


26/09/05
530
Ага.Тогда такой вопрос.А такой ряд сходится?
$$
\sum_{k=0}^{m-1} [(k-2)!!]^2 t^{2m-2k},
$$
где m -- натуральное число.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2007, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Это не ряд. Это полином.

Для общего понимания:
1) $n! = n!! (n-1)!!$ (как и сказал Someone)
2) $(2k)!! = 2^k k!$
3) $(2k+1)!! = \frac{(2k+1)!}{2^k k!}$
4) $n!! = (\frac{2}{\pi})^{\frac{1-\cos(\pi n)}{4}}2^{n/2} \Gamma(\frac{n}{2}+1)$ — Это выражение показывает, как он растет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group