Еще одна интересная сумма

[Sinoid]

Решая одну задачу, выявил и доказал одну формулу, которой хотелось бы поделиться. Я ,конечно, не утверждаю, что ее не знали, просто я ее не встречал. Может быть, кому-нибудь она окажется полезной. Итак, формула: $\sum\limits_{(d_{1},d_{2},\ldots,d_{n})}\left|\begin{matrix}C_{a_{1}b_{1}}^{d_{1}} & C_{a_{1}b_{2}}^{d_{1}} & \ldots & C_{a_{1}b_{n}}^{d_{1}}\\ C_{a_{2}b_{1}}^{d_{2}} & C_{a_{2}b_{2}}^{d_{2}} & \ldots & C_{a_{2}b_{n}}^{d_{2}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ C_{a_{n}b_{1}}^{d_{n}} & C_{a_{n}b_{2}}^{d_{n}} & \ldots & C_{a_{n}b_{n}}^{d_{n}} \end{matrix}\right|=\dfrac{\prod\limits_{1\leq j<i\leq n}(a_{i}-a_{j})\prod\limits_{1\leq j<i\leq n}(b_{i}-b_{j})}{\prod\limits_{1\leq j<i\leq n}(i-j)} $, где $(d_1,d_2,\ldots,d_n)$-всевозможные перестановки чисел $0,1,\ldots,n-1$. Я пока могу утверждать, что она верна, если для всех $a_r,b_s$, в выражениях $C^n_{a_rb_s$ стоят факториалы положительных чисел.