плотность распределения арктангенса с.в.

[Geka]

Как найти плотность распределения вероятностей альфа зная плотность распределения вероятностей тангенс(альфа)?

[незваный гость]

Вообще говоря, задача однозначного решения не имеет, поскольку $\arctg(x)$ функция неоднозначная. Как это влияет: пусть $p(\alpha)$ - искомая плотность вероятности в для $\alpha \in [-\pi/2,\pi/2]$. Тогда мы можем, например, определить новую $p^*(\alpha)$ для $\alpha \in [-\pi/2,\infty)$ таким образом: $\forall \alpha \in [-\pi/2 + \pi k, \pi/2+\pi k]: k \in {\mathbb N} \cup \{0\}$ $p^*(\alpha) = \frac{1}{2^{k+1}}p(\alpha - \pi k) $. И примеров таких - тьмы.

Рассмотрим теперь случай $\alpha \in [-\pi/2,\pi/2]$. Тогда $P\{\alpha < x\} = $ $P\{\tg \alpha < \tg x\} = $ $\int\limits_{-\infty}^{\tg x} p_{tg}(t) {\rm d}t$. Посему $p(x) = $ $\frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \int\limits_{-\infty}^{\tg x} p_{tg}(t) {\rm d}t = $ $ \frac{p_{tg}(\tg x)}{\cos^2 x} $.