Определение размерности

[Chernoknizhnik]

Мне упорно кажется, что мощность максимальной цепи подпространств векторного пространства есть ни что иное, как его размерность. Ход рассуждений примерно таков: пусть $\{V_i\}$ - максимальная цепь подпространств векторного пространства $V$. Выберем в каждом $V_i$ базис $B_i$ да так, чтобы из $V_i\subset V_j$ следовало бы $B_i\subset B_j$. Очевидно, что $\bigcup_i{B_i}$ и есть базис $V$. Пожалуйста, помогите оформить это доказательство аккуратно.