Уравнения высших степеней.

[main.c]

Доброго времени суток.
Нужно решить в рациональных числах уравнение$x^5 + x^4 - 6x + 4 = 0$
Методом перебора нашёл целые корни $x = 1, x = -2$. Поделив на нужный многочлен получим уравнение $x^3 + 2x - 2 = 0$. Целых корней у него нет, но как мне найти рациональные, не прибегая к формулам Кардано. Просьба хотя бы показать куда копать.

[Praded]

Решать уравнение тем же методом, что и Кардано. Положите $x=a+b$. В финале вас ждёт решение квадратного уравнения.

[Mathusic]

main.c в сообщении #654051 писал(а):

Просьба хотя бы показать куда копать.

Если старший член равен единице, и все коэф-ты целые, то все рациональные корни, если есть таковые, суть рациональные.
($\Leftarrow$Теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэф-тами.)

[Cash]

Mathusic в сообщении #654061 писал(а):

Если старший член равен единице, и все коэф-ты целые, то все рациональные корни, если есть таковые, суть рациональные.
($\Leftarrow$Теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэф-тами.)

Где-то вместо слова рациональные должно стоять целые.
А еще точнее - делители свободного члена. То бишь, в вашем случае, единственные возможные рациональные корни исчерпываются $\{ \pm 1; \pm 2 \}$

[main.c]

Praded в сообщении #654058 писал(а):

Решать уравнение тем же методом, что и Кардано. Положите $x=a+b$. В финале вас ждёт решение квадратного уравнения.

И как же Вы там получили квадратное уравнение?.....$3(a + b)^3 + 2a + 2b - 2 = 0$ является кубическим уравнением, вот только теперь, от 2 неизвестных

-- 04.12.2012, 16:17 --

Cash в сообщении #654068 писал(а):

Mathusic в сообщении #654061 писал(а):

Если старший член равен единице, и все коэф-ты целые, то все рациональные корни, если есть таковые, суть рациональные.
($\Leftarrow$Теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэф-тами.)

Где-то вместо слова рациональные должно стоять целые.
А еще точнее - делители свободного члена. То бишь, в вашем случае, единственные возможные рациональные корни исчерпываются $\{ \pm 1; \pm 2 \}$

Теорема говорит, что целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена d. Это если он существует этот
целый корень, но его не существует, я проверил. Производная функции всегда положительна, следовательно функция строго возрастает, в точке к примеру -1 она принимает отрицательное значение, а в точке 2 положительное, следовательно существует единственный рациональный корень, потому что все возможные целые мы исключили.

[Mathusic]

Cash в сообщении #654068 писал(а):

Где-то вместо слова рациональные должно стоять целые.

Ага

Mathusic в сообщении #654061 писал(а):

все рациональные корни, если есть таковые, суть рациональные

[Cash]

main.c в сообщении #654071 писал(а):

следовательно существует единственный рациональный корень, потому что все возможные целые мы исключили.

Перебрав $\pm 1$ и $\pm 2$ мы исключили все рациональные корни. Не путайте вещественные (действительные) корни с рациональными. Теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Посмотрите в любом учебнике по алгебре с темой целочисленные многочлены. В Куроше наверняка должна быть.

[alcoholist]

main.c в сообщении #654071 писал(а):

$3(a + b)^3 + 2a + 2b - 2 = 0$ является кубическим уравнением, вот только теперь, от 2 неизвестных

вы можете связать эти неизвестные любым соотношением кроме $a+b=$

[main.c]

alcoholist в сообщении #654115 писал(а):

main.c в сообщении #654071 писал(а):

$3(a + b)^3 + 2a + 2b - 2 = 0$ является кубическим уравнением, вот только теперь, от 2 неизвестных

вы можете связать эти неизвестные любым соотношением кроме $a+b=$

А можно чуточку подробнее, что-то я логики не улавливаю.

[cool.phenon]

Выразите $x^3$ двумя способами - один из полученного уравнения, а второй - с помощью формулы куба суммы, только немного в другой форме - $\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)$