Предпорядок и мера

[Nik_Nikols]

Видимо, вопрос классический, но литературу найти не могу.

Линейным предпорядком на множестве $X$ буду называть рефлексивное, транзитивное и связное бинарное отношение $\preceq$ на множестве $X$. Под связностью подразумеваю свойство $(\forall x, y\in X)x\preceq y\vee y\preceq x$. Любая мера $\mu$ на множестве $X$ задает линейный предпорядок на множестве $2^{X}$ по формуле $x\preceq y\leftrightarrow \mu(x)\leq \mu(y)$.

Собственно, вопрос. Как иначе описать все предпорядки на $2^{X}$, которые задаются некоторой мерой в этом смысле? Интересует конечный и бесконечный случай, а также некоторое количество смежных вопросов.

Два свойства таких предпорядков очевидны:
(1) $x\subseteq y\rightarrow x\preceq y$
(2) $x\cap y=x\cap z=\emptyset\rightarrow (x\cup y\preceq x\cup z\rightarrow y\preceq z)$
Есть подозрение, что их не хватит для того, чтобы предпорядок $\preceq$ мог быть задан некоторой мерой в упомянутом смысле. По минимуму, хотелось бы узнать, так ли это, и, если нет, увидеть контрпример, желательно конечный.

Заранее благодарен за любые ответы.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Измените заголовок на более информативный.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Математика (общие вопросы)»