Доказать тригонометрическое равенство. Индукция

[matho]

само равенство:
$\frac {\sin x} {\sin x} + \frac {\sin 3x} {\sin x} + \frac {\sin 5x} {\sin x} +...+ \frac {\sin(2n-1)x} {\sin x} = (\frac {\sin nx} {\sin x})^2$
Пытаюсь доказать при помощи мат. индукции:
1) Рассмотим базу индукции n=1, тогда

$\frac {\sin(2(1)-1)x} {\sin x} = (\frac {\sin 1x} {\sin x})^2 \Leftrightarrow \frac {\sin x} {\sin x} = (\frac {\sin x} {\sin x})^2 \Leftrightarrow 1=1$
База индукции верна.

2)Рассмотим индуктивный переход
n=k, тогда
$\frac {\sin x} {\sin x} + \frac {\sin 3x} {\sin x} + \frac {\sin 5x} {\sin x} +...+ \frac {\sin(2k-1)x} {\sin x} = \frac {\sin^2 kx} {\sin^2 x}$

3)Докажем, что при k=k+1 верно равенство

$ (\frac {\sin kx} {\sin x})^2 + \frac {\sin(2(k+1)-1)x} {\sin x} = (\frac {\sin (k+1)x} {\sin x})^2$ (1)

Преобразуем (1):
$ (\frac {\sin^2 kx} {\sin^2 x}) + \frac {\sin x \sin(2(k+1)-1)x} {\sin^2 x} = \frac {\sin^2 (k+1)x} {\sin^2 x}$
Дальше как быть?
Я думаю, можно отбросить числители, тогда надо доказать, что
$ \sin^2 kx + \sin x \sin(2(k+1)-1)x = \sin^2 (k+1)x$
$ \sin^2 kx + \sin x \sin(2k+1)x = \sin^2 (k+1)x$

Вот это же не доказательство:
$ (kx)^2 + x(2k+1)x = ((k+1)x)^2$
$ k^2x^2 + (2kx^2+ x^2) = (k^2x^2+2kx^2+x^2)$

[ИСН]

не надо никакой индукции
все дроби сложить (благо знаменатель у них уже общий), потом умножить верх и низ на синус.
и тут
ВНЕЗАПНО
произведение синусов - это ведь разность косинусов!

[matho]

не очень понимаю, а по индукции - то как?

[ИСН]

Не надо по индукции.

-- Пн, 2012-12-03, 16:58 --

ОК, ладно: докажите, что ${\left(\sin (n+1)x\over\sin x\right)^2}-{\left(\sin nx\over\sin x\right)^2}$ равно сами понимаете чему.