Задача на сходимость ряда

[Gordmit]

Пусть $a_n$ - последовательность такая, что $a_1>0$, $0\leqslant a_n\leqslant\frac{1}{\sqrt{n}}$.
Верно ли, что сходится ряд

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\max\limits_{k\geqslant n}a_k}{\sum\limits_{k=1}^n ka_k}$$

?

Добавлено спустя 3 минуты 3 секунды:

Есть подозрение, что сходится, но доказать не получается.

Зато получается доказать сходимость ряда без $\max$ в числителе:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{\sum\limits_{k=1}^n ka_k}$$

.

[RIP]

$$a_n=\begin{cases}\frac1n,&n=2^m\ (m=0,1,2,\ldots);\\0,&\text{иначе.}\end{cases}$$

[Gordmit]

Спасибо!
Действительно, расходится.