Разрывное решение функц. уравнения Коши

[NyaQ]

Нужно найти разрывное решение уравнение вида $f(x+y)=f(x)+f(y)$
Насколько я знаю, делается это с помощью базиса Гамеля и соответствующей функции от коэффициентов разложения по базису. Так вот нужно задать эту функцию и доказать что она разрывна.

[bot]

Наверно было и вряд ли однократно. Это хорошо, что Вы знаете про базис Гамеля - вот его и возьмите. На нём можно задать функцию ... как? А далее доопределим её ...
Впрочем лучше спросить - а что такое базис Гамеля?

[NyaQ]

Да-да, было, читал. Надо рассмотреть базис над $\mathbb{R}$ с коэф. из $\mathbb{Q}$. Существует единственное разложение любого вещественного числа через элементы базиса помноженные на коэффициенты.
Притом элементов базиса в любом разложении будет конечное число.
А как определить функцию -- мне самому интересно. Например можно зафиксировать определенный элемент базиса, тогда для любого числа определить функцию как координату при этом векторе. Ну тогда нужно доказательство ее разрывности, если она подойдет.

[bot]

NyaQ в сообщении #652485 писал(а):

А как определить функцию -- мне самому интересно.

Для этого достаточно определить её на базисе и распространить на остальные числа по линейности. Вот Ваша получается так - на выбранном базисном элементе полагаем функцию равной 1, а на всех остальных базисных элементах - нулю.

[NyaQ]

bot в сообщении #652496 писал(а):

Вот Ваша получается так - на выбранном базисном элементе полагаем функцию равной 1, а на всех остальных базисных элементах - нулю.

А почему у нее есть точки разрыва?

[bot]

Ну дык в точке единица, а что в окрестности есть? Вот, к примеру, в базис попали $e$ и $\pi$ - могли?

(Пусть попробуют)

Не захотят - заставим

$f(e)=1$, а $f(\pi)=0$ ...

[NyaQ]

Ну т.е. достаточно показать что в окрестности будет 0, т.е. что множество порожденное любым другим базисным элементом всюду плотно.
А подойдет как функция, сумма коэффициентов разложения?

[bot]

1) Да, то есть нет. Зачем нам плотность, достаточно иметь много нулей.
2) Подойдёт к чему? Как линейная функция? Или как разрывная?

[RIP]

Можно и по-другому, если заметить, что функция принимает только рациональные значения.

[NyaQ]

bot в сообщении #652541 писал(а):

2) Подойдёт к чему? Как линейная функция? Или как разрывная?

Как линейная явно подойдет, а как разрывная?

RIP в сообщении #652543 писал(а):

Можно и по-другому, если заметить, что функция принимает только рациональные значения.

По моему определению непрерывности, функция, принимающая только рациональные значения, может быть таковой.
$f: E \to \mathbb{R}; E \subseteq\mathbb{R}$; a \in E'
$\forall\varepsilon>0 \exists \delta>0: \forall x \in E \cap O_{\delta}(a): f(x)\in O_{\varepsilon}(f(a))$
Что собственно мешает попасть рациональному числу в любую эпсилон окрестность?

-- 01.12.2012, 20:25 --

bot в сообщении #652541 писал(а):

1) Да, то есть нет. Зачем нам плотность, достаточно иметь много нулей.

А как без этого понять что нулей достаточно много?

[bot]

Я имел в виду выбор рациональной последовательности $q_n $, для которой $e=\lim\limits_{n\to\infty}q_n\pi$
Однако после RIPа можно уже не ковыряться в частностях: если на базисных элементах задать значения функции рациональными, то её продолжение по линейности будет иметь тоже рациональные значения, так что за исключением постоянной (а уж мы позаботимся, чтобы она не была постоянной) она не может быть непрерывной - теорема о промежуточном значении не позволит.

[NyaQ]

Ок, все понял. Спасибо.
Тогда получается сумма коэф. тоже подойдет, потому что будет принимать только рациональные значения.