Неприводимость в кольце

[FFFF]

Хочу понять, какие неприводимые элементы есть в кольце $\mathbb Z [\sqrt{-2 k -1}] \ k \in \mathbb N$. Такие элементы должны быть простыми в $\mathbb Z$ и быть не представимыми в виде $p^2+(2k+1)q^2 \ p,q \in \mathbb Z$ Можно ли это условие записать на языке остатков? Например, для $k=1$ есть теорема Ферма-Эйлера и её следствие, а в общем случае? С теорией чисел всё плохо=(
Хотел посмотреть книжку D. A. Cox "Primes of the Form $x^2 + ny^2$", но не нашёл.

[Sonic86]

FFFF в сообщении #652400 писал(а):

Хотел посмотреть книжку D. A. Cox "Primes of the Form $x^2 + ny^2$", но не нашёл.

Эта книжка есть у меня Пишите ЛС - я Вам на мыло скину, либо на файлообменник залью.

Насчет вопроса - попробуйте заглянуть в книгу Хассе (еще м.б. в книгу Дирихле ТЧ). Я плохо знаю, но такое ощущение, что там с описанием таких элементов все плохо.

[FFFF]

Sonic86 в сообщении #652406 писал(а):

такое ощущение, что там с описанием таких элементов все плохо

Грустно, вообще стоит задача найти в таком кольце выписать явно неприводимый, но не простой элемент. С "непростотой" вроде разобрался, а вот с неприводимостью - не очень.

[apriv]

FFFF в сообщении #652411 писал(а):

вообще стоит задача найти в таком кольце выписать явно неприводимый

И в чем проблема? Знаете ли Вы такой элемент в кольце $\mathbb Z[i\sqrt{3}]$? А в $\mathbb Z[i\sqrt{5}]$?

[FFFF]

apriv в сообщении #652447 писал(а):

в $\mathbb Z[i\sqrt{5}]$?

Знаю - троечка, по аналогии можно найти среди неприводимых в $\mathbb Z[i\sqrt{2 k +1}]$ элементы, не являющиеся простыми. Но тогда надо понять, как вообще выглядят неприводимые в $\mathbb Z[i\sqrt{2 k +1}]$, ход мыслей у меня такой.