Рамка в магнитном поле

[Aden]

Здравствуйте. Помогите разобраться с задачкой.
В магнитном поле прямого бесконечного тока 100 А поместили квадратную железную рамку со стороной 1 см таким образом, что ближайшая сторона рамки параллельна току и отстает от него на расстоянии 0,5 см. Какой ток надо пропустить через рамку, чтобы она «висела» в магнитном поле? Сечение провода рамки 0,5 мм2, плотность железа 7,8•103 кг/м3. Рамка и прямой ток находятся в одной плоскости.
Что значи- чтобы она «висела» в магнитном поле. Какое условие должно выполняться ?

[Ilia_]

Равенство по модулю силы тяжести, действующей на рамку, и суммы сил Ампера, действующих на каждый участок рамки. Т.е. векторная сумма всех сил равна нулю. Картинка выглядит, например, так (там есть ещё пара сил Ампера, но они компенсируют друг друга):

[Aden]

Получается так,
$ \[ \begin{gathered} m = \rho \cdot V = \rho \cdot l \cdot S \hfill \\ F_A = I \cdot B \cdot l \cdot \cos \alpha = I \cdot \frac{{\mu \mu _0 \cdot I_0 }} {{2\pi d}} \cdot l; \hfill \\ I \cdot \frac{{\mu \mu _0 \cdot I_0 }} {{2\pi d}} \cdot l = \rho \cdot l \cdot S \cdot g; \hfill \\ I \cdot \frac{{\mu \mu _0 \cdot I_0 }} {{2\pi d}} = \rho \cdot S \cdot g; \hfill \\ I \cdot \frac{{\mu \mu _0 \cdot I_0 }} {{2\pi d}} = \rho \cdot a^2 \cdot g; \hfill \\ I = \frac{{2\pi d \cdot \rho \cdot a^2 \cdot g}} {{\mu \mu _0 \cdot I_0 }}; \hfill \\ \end{gathered} \] $

[Ilia_]

Вы забыли про ток по дальней стороне рамки. Его к проводу притягивает. Т.е. $F_A$ в ваших обозначениях - это $F_{A1}$ на моём рисунке. А есть ещё $F_{A2}$. Эта сила меньше по модулю (так как сторона дальняя) и направлена в противоположную сторону. В проекциях будет

$$F_{A1}-F_{A2}=mg$$

[Aden]

$ \[ \begin{gathered} I \cdot \frac{{\mu \mu _0 \cdot I_0 }} {{2\pi d}} \cdot l - I \cdot \frac{{\mu \mu _0 \cdot I_0 }} {{2\pi d \cdot \left( {d + a} \right)}} \cdot l = \rho \cdot l \cdot S \cdot g; \hfill \\ \frac{{I \cdot \mu \mu _0 \cdot I_0 \cdot l \cdot (d + a - d)}} {{2\pi d \cdot \left( {d + a} \right)}} = \rho \cdot l \cdot S \cdot g; \hfill \\ \frac{{I \cdot \mu \mu _0 \cdot I_0 \cdot a}} {{2\pi d \cdot \left( {d + a} \right)}} = \rho \cdot S \cdot g; \hfill \\ I = \frac{{2\pi d \cdot \left( {d + a} \right) \cdot \rho \cdot S \cdot g}} {{I \cdot \mu \mu _0 \cdot I_0 \cdot a}}; \hfill \\ \end{gathered} \] $
Так ?

[Ilia_]

Что вы понимаете под $l$, а что под $a$? Если $a$ - сторона квадрата (судя по левой части, вы именно это и имеете ввиду), то обозначение $l$ - лишнее. Нас интересует не сила на единицу длины, а полная сила. Соответственно, уравнение выглядит так:

$$ I \cdot \frac{{ \mu _0 \cdot I_0 }} {{2\pi d}} \cdot a - I \cdot \frac{{ \mu _0 \cdot I_0 }} {{2\pi \cdot \left( {d + a} \right)}} \cdot a = \rho \cdot 4a \cdot S \cdot g$$

4 в правой части возникла из-за того, что массу имеют все 4 стороны квадрата. $\mu$ я положил равным единице (это подразумевается, если в условии специально не оговорено иное).

[Aden]

$ \[ \begin{gathered} I \cdot \frac{{\mu \mu _0 \cdot I_0 }} {{2\pi d}} \cdot a - I \cdot \frac{{\mu \mu _0 \cdot I_0 }} {{2\pi d \cdot \left( {d + a} \right)}} \cdot a = \rho \cdot 4a \cdot S \cdot g; \hfill \\ \frac{{I \cdot \mu \mu _0 \cdot I_0 \cdot (d + a - d)}} {{2\pi d \cdot \left( {d + a} \right)}} = 4\rho \cdot S \cdot g; \hfill \\ \frac{{I \cdot \mu \mu _0 \cdot I_0 \cdot a}} {{2\pi d \cdot \left( {d + a} \right)}} = 4\rho \cdot S \cdot g; \hfill \\ I = \frac{{8\pi d \cdot \left( {d + a} \right) \cdot \rho \cdot S \cdot g}} {{\mu \mu _0 \cdot I_0 \cdot a}}; \hfill \\ \end{gathered} \] $