Положительный оператор. (посоветуйте, куда глянуть)

[Dan B-Yallay]

Рассмотрим оператор $A: L_p \to L_q, \qquad 1/p + 1/q=1$.
Случай $p=1/2=q$ не интересует.
Назовем его положительно определенным, если $\forall x \in L_p: \ \ (Ax,x)> 0, \ x \ne 0$.
Вопрос: существуют ли такие?
Если существуют, то чем плохо скалярное произведение, введенное через этот оператор? (Кроме несоответствия естественной норме)

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #652052 писал(а):

то чем плохо скалярное произведение, введенное через этот оператор? (Кроме несоответствия естественной норме)

Ровно тем же, чем и обычное скалярное произведение из $L_2$, разве что из-за оператора могут добавиться какие-то ещё неприятности. Так зачем его тогда и добавлять?...

[Dan B-Yallay]

ewert в сообщении #652056 писал(а):

Так зачем его тогда и добавлять?...

Появляется гипотетическая возможность построить некий "ортонормированный базис", раскладывать в "ряд Фурье" и прочие вещи.
Я не сильно копенгаген, просто интересуюсь.

[Oleg Zubelevich]

Оператор (нелинейный вообще говоря) $f:X\to X'$ ($X$ -- банахово пространство) называется строго монотонным если $(f(x)-f(y),x-y)>0,\quad x,y\in X,\quad x\ne y$

[Dan B-Yallay]

Oleg Zubelevich в сообщении #652074 писал(а):

Оператор (нелинейный вообще говоря) $f:X\to X'$ ($X$ -- банахово пространство) называется строго монотонным если $(f(x)-f(y),x-y)>0,\quad x,y\in X,\quad x\ne y$

Спасибо за подсказку - нашёл теорему Качуровского. Буду изучать.