Простая задача про идеал

[Tamerlan77]

Почему идеал $(x^2, y^2)$ в кольце $\mathbb C[x,y]$ является примарным?
Это должно следовать из того, что $r(x^2,y^2)$ максимален. Почему он максимальный?
Что-то затупил. Подскажите, пожалуйста!

[apriv]

Tamerlan77 в сообщении #651236 писал(а):

Почему идеал $(x^2, y^2)$ в кольце $\mathbb C[x,y]$ является примарным?
Это должно следовать из того, что $r(x^2,y^2)$ максимален. Почему он максимальный?
Что-то затупил. Подскажите, пожалуйста!

Потому что это начало координат на плоскости.

[xmaister]

Tamerlan77 в сообщении #651236 писал(а):

Почему идеал $(x^2, y^2)$ в кольце $\mathbb C[x,y]$ является примарным?

А будет ли? Ведь простой идеал по определению это идеал $\mathfrak{n}$, такой что $xy\in\mathfrak{n}$ следует $x\in\mathfrak{n}$ или $y\in\mathfrak{n}$. Берём $(x+iy)$ и $(x-iy)$.

[Joker_vD]

xmaister
Там "примарный" написано. $(x+iy)^3=x^3 + 3i x^2 y - 3 x y^2 - i y^3 = (x+3i y)x^2 - (3x-iy)y^2\in(x^2,y^2)$

Tamerlan77
$\mathrm{rad}(x^2,y^2)=(x,y)$ — если вы распишете $(f(x,y)x+g(x,y)y)^n$ по формуле бинома, то увидите, что он лежит в $(x^2,y^2)$ для $n\geqslant 3$, т.е. $(x,y)\subset\mathrm{rad}(x^2,y^2)$, но $(x,y)$ максимален, $\mathbb C[x,y]/(x,y)$ изоморфно $\mathbb C$.

Ну а лемму о том, что максимальность $\mathrm{rad}(\mathfrak a)$ влечет примарность $\mathfrak a$, докажите сами.