Моноидная алгебра

[xmaister]

Пусть $M$- моноид, $A$- коммутативное кольцо. Каким образом строится моноидная алгебра $A[M]$?

[Joker_vD]

Берем множество конечных формальных сумм $a_1m_1+\dots+a_nm_n$, $a_i\in A$, $m_i \in M$, это и будет множество $A[M]$. Думаю, как вводится сложение и умножение, вы догадаетесь и так.

Если вводить построже, то надо рассматривать множество отображений $M\to A$, которые равны нулю почти всюду. Сложение — это поточечное сложение отображений, произведение $\alpha$ и $\beta$ задается равенством

$$(\alpha\beta)(t)=\sum\limits_{xy=t}\alpha(x)\beta(y).$$

[xmaister]

Joker_vD, не совсем понял, что значит формальная сумма. Я полагаю Вы имеете в виду подействовать на $M$ и $A$ забывающими функтороми $F_1,F_2$. Рассматриваю все отображения $f:F_1(M)\to F_2(A)$ равные нулю почти всюду, тогда $f_1+f_2=\langle F_1(M), G_{f_1+f_2},F_2(A)\rangle$, где $G_{f_1+f_2}=\{(x,y_1+y_2)|(x,y_1)\in G_{f_1},(x,y_2)\in G_{f_2}\}$, $af=\langle F_1(M), G_{af},F_2(A)\rangle,a\in A$, где $G_{af}=\{(x,ay)|(x,y)\in G_f\}$ и $f_1f_2=\langle F_1(M), G_{f_1f_2},F_2(A)\rangle ,G_{f_1f_2}=\{(x_1x_2,\sum\limits_{x_ix_j=x_1x_2} y_iy_j)|(x,y)\in G_f\}$. Так

[Joker_vD]

Вся эта абстрактная чепуха выше меня

$A[M]=\{f\colon M\to A\mid f\text{--- равно нулю почти всюду на }M\}$

Пусть $\alpha,\beta\in A[M]$, тогда полагаем
$(\alpha+\beta)(t)=\alpha(t)+\beta(t)$ для любого $t\in M$;

$(\alpha\beta)(t)=\sum\limits_{\substack{x,y\in M\\xy=t}}\alpha(x)\beta(y)$ для любого $t\in M$.

Что такое формальная сумма? Ну вот $1+x+3x^2$ — само по себе это набор значков, без всякого смысла.

1) Создаем $\mathbb Z[x]$ — как множество финитных последовательностей, вводим сложение-умножение этих последовательностей, обозначаем $(a,0,0,\dots)$ как $a$, а $(0,1,0,0,\dots)$ как $x$ — тогда $1+x+3x^2$ становится обозначением $(1,1,3,0,0,\dots)\in\mathbb Z[x]$.

2) Называем это "формальной суммой", собираем целое множество таких сумм, отождествляем $x^2+1$ и $1+x$, отождествляем $1+x+x+3x^2-x^2+5$ и $6+2x+2x^2$, вводим формальное сложение-умножение: $(1+x)+(2+3x+x^2)=3+4x+x^2$, $(1+x)(1-x)=1+x-x-x^2=1-x^2$ и т.д. Получается вполне себе $\mathbb Z[x]$.

-- Чт ноя 29, 2012 02:22:10 --

Собственно говоря, что вообще такое алгебра многочленов от переменных $x_1,\dots,x_n$ над кольцом $A$? Это моноидная алгебра $A[M]$, где $M$ — свободный абелев моноид с образующими $x_1,\dots,x_n$.

Хм, $A[M]$ еще небось и универсальный объект в какой-нибудь там категории?

[xmaister]

Собственно, вопрос возник когда я разбирался с определением многочленов в Ленге. Рассмотрим многочлены $A[x]$ над коммутативным кольцом $A$ и пусть задан гомоморфизм моноидов $\varphi_a:M\to (A,\cdot)$, т.ч. $x\mapsto a$, где $M$- мультипликативный моноид всех функций $f:\{x\}\to\mathbb{N}$. Такой гомоморфизм индуцирует единственный гомоморфизм $\psi_{\varphi_a}:A[x]\to A$, т.ч. для всякого $(x^n,a)\in A[x]$ будем иметь $(x^n,a)\mapsto \varphi(x^n)a$. Тогда можно ли назвать значением многочлена $p\in A[x]$ в точке $a\in A$, как $\psi_{\varphi_a}(p)$?

Joker_vD в сообщении #651265 писал(а):

Хм, $A[M]$ еще небось и универсальный объект в какой-нибудь там категории?

Ленг пишет, что для моноидной алгебры многолченов многочленов свойство универсальности есть, оно вроде просто проверяется.

[apriv]

Свойство универсальности, конечно, есть: моноидная алгебра — это левый сопряженный к забывающему функтору из алгебр над $A$ в моноиды.