О шарах

[cool.phenon]

Верно ли, что количество шаров в ${{\mathbb{R}}^{3}}$, которые не пересекаются попарно, не более,чем счётно?( Насколько я понимаю, это следует из сепарабельности ${{\mathbb{R}}^{3}}$.)

[gris]

А количество непересекающихся отрезков на прямой?

[ИСН]

Ну ведь несколько рациональных точек-то в каждом шаре найдётся, правда?

[cool.phenon]

Да,значит всё-таки прав был.

Количество непересекающихся отрезков не более чем счётно, потому что на каждом найдётся по 1 рациональной точке.

А сепарабельность здесь связать можно? Ведь в несепарабельном метрическом пространстве существует несчётная система элементов, попарные расстояния между которыми больше какого-то числа,а наше пространство сепарабельно, то есть, такого не может быть.

[Dan B-Yallay]

cool.phenon в сообщении #651208 писал(а):

А сепарабельность здесь связать можно?

А всюду плотность рациональных - это никак с сепарабельностью не связано по вашему?

[cool.phenon]

Я всего-то уточнял,товарищи. К экзамену по топологии я прямо сейчас не готов

[gris]

Ну тут зависит от последовательности утверждений. Мы можем явно и не употреблять слова "сепарабельность", пользуясь только счётностью и всюду-плотностью рациональных точек. Саму сепарабельность $R^3$ и доказывают через рациональные точки.
А вот если Вам дано произвольное сепарабельное пространство, то Ваше утверждение, конечно, будет следовать из сепарабельности, то есть из существования счётного и всюду плотного множества, с помощью которого мы и пронумеруем шары.

[cool.phenon]

Благодарю, вопрос исчерпан