Приложение определенного интеграла

[Ёж]

Когда вычисляем площадь фигуры, ограниченной кривыми
$ \begin{cases} x=\cos x,\\ y=\sin x, \end{cases} $
$y=0$ $ (y \geq 0)$
получаем,
$\cos t=-1$, $t=\pi$
$\cos t=1$, $t=0$, следовательно,
$S=\int\limits_{\pi}^0 \sin t (\cos t)'dt$.
А для вычисления дуги кривой
$ \begin{cases} x=\cos x,\\ y=\sin x, \end{cases} $
$ (y \geq 0)$
уже вычисляем интеграл
$S=\int\limits^{\pi}_0 \sqrt{(\cos t)'^2+(\sin t)'^2 }dt$.

Подскажите пожалуйста, почему во втором случае интеграл вычисляем от $0$ по $\pi$?

[Dan B-Yallay]

А Вы хотели в обратную сторону? Или в чем вопрос собственно?

[Ёж]

Если во втором случае вычислять от $\pi$ до $0$ ответ будет отрицательным. Но мы же после вычисления только узнаем, что ответ отрицательный.

[Someone]

В криволинейном интеграле первого рода всегда надо ставить внизу меньший предел интегрирования, а вверху - больший.

[Ёж]

Someone в сообщении #650737 писал(а):

В криволинейном интеграле первого рода всегда надо ставить внизу меньший предел интегрирования, а вверху - больший.

Спасибо!

[AKM]

(Оффтоп)

Ёж в сообщении #650712 писал(а):

Когда вычисляем площадь фигуры, ограниченной кривыми
$ \begin{cases} x=\cos x,\\ y=\sin x, \end{cases} $

Уже не в певый раз мне хочется выучить математику, чтобы, понимать, о чём здесь люди базарят; например, понять, где и какие кривЫЕ здесь люди увидели. Но я и сейчас сдержу свой порыв, не буду её учить, и останусь на форуме в своей роли. В общем, я даже не прошу, чтобы мне объяснили. Пусть пятница будет пятницей.

[olenellus]

(Оффтоп)

$x=\cos x$ вполне себе кривая $x(t)$. Ведь, что есть кривая? Это неперывное отображение отрезка $\mathbb{I}\subset\mathbb{R}$ в множество. В данном случае нас интересует отображение $f:\mathbb{I}\to\mathbb{R}^2$. В указанном автором случае $|\operatorname{Im}f|=1$, а значит, отображение определено однозначно. И это отображение, действительно, непрерывно.

[TOTAL]

olenellus в сообщении #652124 писал(а):

$x=\cos x$ вполне себе кривая $x(t)$.

Сколько точек на этой кривой, какие точки?

[olenellus]

Одна. А значение надо численно искать.

[TOTAL]

olenellus в сообщении #652133 писал(а):

Одна. А значение надо численно искать.

Где фигура, площадь которой ищем и которая ограничена границей из одной точки?

[olenellus]

Сама эта точка. Точка является множеством меры нуль. Вот и ответ.

Я там, конечно, вольно написал. Вот, что я имел в виду:
Площадь фигуры, ограниченной кривыми
$\left\{\begin{matrix}x=\cos x\\y=\sin x\end{matrix}\right.$
(набор из одной кривой, состоящей из одной точки) равна нулю.

А да, там ещё одна кривая есть: половина прямой $y=0$. Ну так вот, множество, ограниченное этими двумя кривыми (точкой и лучом) всё равно имеет меру нуль

[Ёж]

Прошу прощения за опечатку!
Кривые
$\left\{\begin{matrix}x=\cos t\\y=\sin t\end{matrix}\right.$ и $y=0$

[bot]

(Вот кол, на колу мочало)

Только кол не тот и мочало другое

Какие теперь будут Ваши соображения? Что это за кривые и какая область ими ограничивается?

[Ёж]

bot в сообщении #652325 писал(а):

(Вот кол, на колу мочало)

Только кол не тот и мочало другое

Какие теперь будут Ваши соображения? Что это за кривые и какая область ими ограничивается?

Ёж в сообщении #652185 писал(а):

Прошу прощения за опечатку!
Кривые
$\left\{\begin{matrix}x=\cos t\\y=\sin t\end{matrix}\right.$ и $y=0 (y\geq 0)$

думаю, что половина круга (выше оси абсцисс)

[bot]

Хм, ну и какова же будет площадь этой половины и длина дуги, или, может быть, контура?