Алгебра

[Tamerlan77]

Здравствуйте!

Кто-нибудь может подсказать, как доказывается, что проективный модуль является плоским??

Спасибо!

[apriv]

Подсказка: прямая сумма модулей является плоской тогда и только тогда, когда каждый из них плоский.

[Tamerlan77]

Спасибо за подсказку! Общая идея решения понятна. Не совсем понятно,как доказать Вашу подсказку. Почему из того,что прямая сумма плоская следует,что каждое слагаемое плоское?

[apriv]

Потому что тензорное произведение коммутирует с прямыми суммами.

[Tamerlan77]

Ивините, не понял. Пожалуйста, поясните поподробнее.

[apriv]

$\left(\bigoplus_{i\in I} M_i\right)\otimes N\cong \bigoplus_{i\in I} (M_i\otimes N)$

[Tamerlan77]

Да,это понятно,спасибо. А что дальше с этим делать?

[apriv]

А еще, говорят, прямая сумма гомоморфизмов инъективна тогда и только тогда, когда каждый из них инъективен. Ну и вспомните уже определение плоского модуля.