Диффур

[Limit79]

$y''+2y(y')^3=0, y(1)=0, y'(0)=1$

Понижаю порядок $y'=p, y''=p'p$ :

$p'p+2y(p)^3=0$

Разделяю переменные, получаю: $p = \frac{1}{y^2+C}$, то есть $y' = \frac{1}{y^2+C}$ , учитываю начальные условия: $1= \frac{1}{0+C}$, то есть $C=1$.

$y' = \frac{1}{y^2+1}$, разделяю переменные, получаю:

$\frac{y^3}{3} + y = x + C$, учитываю начальные условия, получаю: $\frac{y^3}{3} + y = x -1$, преобразую: $y^3+3y=3x-3$

Вроде как все логично, но как можно проверить ответ?

[ИСН]

Ну Вы производную от неявно заданной функции находили когда-нибудь, например?

[alcoholist]

возьмите производную от равенства

Limit79 в сообщении #650014 писал(а):

$y^3+3y=3x-3$

и выразите $y'$, потом вычислите $y''$ и проверяйте

[Limit79]

ИСН

Да, я пробовал, два раза дифференцировал по $x$, считая, что $y=f(x)$ - в этом случае не сходится. Так как мы делаем замену $y'=p$, то вроде и дифференцировать не по $x$ надо, вот в этом и не могу разобраться.

-- 26.11.2012, 18:44 --

alcoholist
Производную по $x$?

[ИСН]

Какую мы делали замену - не имеет значения. Если решение верно, то оно верно, хоть бы мы в поисках его ездили через Бутово в Мытищи. Производную надо такую, какая была в условии. А какая была в условии?

[Limit79]

ИСН
В условии была по $x$.

$(y^3+3y)'=(3x-3)'$

$3y^2y'+3y'=3$

$(3y^2y'+3y')'=(3)'$

$6yy' + y''3y^2+3y''=0$

А это не есть исходное уравнение.

[ИСН]

Во-первых, первое слагаемое на последнем шаге продифференцировано неправильно. Во-вторых, кто Вам сказал, что наша функция обязана удовлетворять только одному уравнению в мире, и ничему больше?

[Limit79]

ИСН
Ой, опечатался:

$6yy'y' + y''3y^2+3y''=0$

А как иначе проверить?

[ИСН]

Слово "иначе" уместно, когда какой-то один способ уже есть, а хочется ещё.

-- Пн, 2012-11-26, 19:07 --

короче, некая комбинация второго уравнения (где y') с последним

[Limit79]

ИСН
То есть этого способа нет?

-- 26.11.2012, 19:08 --

ИСН
А так, на вскидку, правильно решено?

[Someone]

Когда до конца доведёте - будет.

[ИСН]

Проверяйте. Не буду забегать вперёд.
(Хотя теперь меня не оставляет мысль, что по уму надо было как-то иначе. Но какая разница, ведь так тоже можно, и остался один шаг.)

[Limit79]

Someone
ИСН

Выразил $y^2+1$ из первого, подставил во второе - все сошлось.

Спасибо за помощь!