Центр масс кривой (в теоремах Гульдена-Паппа)

[churik]

"1. Пусть плоская кривая лежит по одну сторону от некоторой прямой a. Тогда площадь поверхности, получаемой при вращении этой кривой вокруг оси a, равна произведению длины кривой на длину окружности, пробегаемой ее центром масс: S = 2πrL, где L – длина кривой, а r – расстояние от ее центра масс до оси.
2. Пусть плоская фигура лежит по одну сторону от некоторой прямой a. Тогда объём тела, получаемого при вращении этой фигуры вокруг оси a, равен произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой ее центром масс: V = 2πRS, где S – площадь фигуры, а R – расстояние от ее центра масс до оси."

Что за "центр масс кривой"?

зы Если возможно, то дайте наглядный пример, демонстрирующий данные теоремы. А так же док-ва последних - я не нашел.

[ИСН]

Ну если кривую тупо согнуть из проволоки, то где-то же у неё будет центр масс? Вот это он и есть.

[churik]

Объясните как ее найти. И по возможности дайте пример.

[ИСН]

Про интегралы когда-нибудь слышали, например?

[churik]

Да. И?

[ИСН]

Интегрируете по кривой её плотность (тупо константу в данном случае) - это будет масса.
Интегрируете по кривой [плотность*x] - это будет Нечто. Делите его на массу - это будет одна из координат центра масс. Аналогично с y и z.

[churik]

Спасибо. А если без интегралов? Теоремы Гульдена-Паппа были найдены еще до открытия дифференциального исчисления.

[ИСН]

Ну это. Тогда каждая подобная теорема обрамлялась корявыми и неудобными рассуждениями в стиле "а вот здесь мы разбиваем наш объект на очень-очень маленькие призмы (цилиндры, пирамиды, хрениды, нужное подчеркнуть), и видим, что для них верно то-то..."
Помните, как в школьных учебниках объём пирамиды доказывается? Или теперь там не так?

[churik]

Ясно. Но я запутался - что же такое "центр масс" сугубо в математическом смысле? Или без физики (механики) данное понятие вовсе не имеет смысла? Существует ли определение "центра масс" справедливое для любого геометрического объекта?

Извиняюсь, если вопрос составлен глупо.

[ИСН]

Существует и описывается так, как я выше привёл (через интегралы).
Или я не понял, в чём вопрос.

[churik]

Все ясно - я тупил. Премного благодарен за помощь.