Эйлеровы интегралы.

[LordJohn]

Доброго времени суток. У меня возникли трудности с двумя интегралами. У первого нужно определить область существования и выразить через эйлеров интеграл, а второй просто вычислить(тоже с использованием эйлерового интеграла).
$1. \int_{0}^{\infty} \frac{\ln{1+3x}}{x^m} dx$
$2. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin{x})^n \ln{\cos{x}} dx$
Во втором я сделал следующее:
$\cos{x}=\sqrt{t}$
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin{x})^n \ln{\cos{x}} dx = -\frac{1}{4}\int_{0}^{1} (1-t)^{n-1}t^{\frac{1}{2}-1}\ln{t} dt$
Но меня ставит в тупик логарифм.
А с первым я пытался делать замену
$t=\ln{1+3x}$
$\int_{0}^{\infty} \frac{\ln{1+3x}}{x^m} dx = 3^{m-1}\int_{0}^{\infty} \frac{t e^t}{(e^t-1)^m} dt$
И что делать дальше я не представляю((

[Slip]

Со вторым у меня есть два варианта - либо ввести параметр так, чтобы этот интеграл был производной по параметру от чего-то более-менее хорошего, что бы само считалось, либо проинтегрировать по частям, занося логарифм с одним синусом под дифференциал, тогда получится рекуррентное соотношение, связывающее этот интеграл с таким же, но с на 2 меньшим n, и пытаться развернуть это рекуррентное соотношение. Второй способ, разумеется, только если n целое.
Про первый - область существования вроде бы тривиально находится, а чтобы выразить - можно попробовать сделать замену типа $u=\frac{1}{1+3x}$ и посмотреть, что получится. Есть ощущение, что снова придется дифференцировать по параметру.