Найти массу дуги кривой

[KillJoy]

Помогите решить.
Найти массу дуги кривой $(x+1)^2 + \frac{(y-2)^2}{49} = 1$ при $x\ge-1, y\le2$, если ее плотность $\rho(x,y)=2x-y-xy+2$

[arseniiv]

Помогите помочь — начните решение и продолжайте, докуда можете.

[KillJoy]

$(x+1)^2+\frac{(y-2)^2}{49}=1$ Выразим $y$ . $y = 2 -7\sqrt{-x^2-2x}$
Дифференциал длины дуги равен $dl = \sqrt{1+(f'(x))^2}dx=\sqrt{1+\frac{7(x+1)}{\sqrt{-x^2-2x}}}$
Масса дуги равна $M =\int_a^{b}{\rho(x, f(x))\sqrt{1+(f'(x))^2}}$
Вопрос : как найти пределы интегрирования?

[arseniiv]

Нижний предел уже есть.

P. S. Забыли в интеграле $dx$.

[KillJoy]

А верхний как искать?

[arseniiv]

По связи $y$ и $x$.

[KillJoy]

$2-t\sqrt{-(x^2+2x)}\le2$
$x(x+2)\le0$
$x \in [-2,0]$ и $x \ge-1$
$x \in [-1,0]$
Верно?

[arseniiv]

Да.

Кстати, этот эллипс можно было и нарисовать, и найти нужную дугу взглядом.

[KillJoy]

А интеграл $\int_{-1}^{0}{(x+1)\sqrt{48x^2+96x+49}}$ каким методом вычисилять?

[arseniiv]

Я не помню; может, кто-то зайдёт сюда и напишет. Если знаете криволинейный интеграл первого рода, задачу можно решить, не вводя корни на ровном месте.

(Хотя вычислить этот интеграл можно легко, приписав справа $d\eta$ или там $dw$.)

[bot]

Если сразу эту четвертинку эллипса параметризовать, то никаких проблем с интегрированием не будет.

[Sender]

Да тут и так нет никаких проблем, достаточно найти дифференциал подкоренного выражения.

[bot]

А и в самом деле - на циферки под корнем я ни разу не взглянул, хотя всё равно уже сам интеграл через параметризацию получить проще. А вот $dx$ в интеграле нету - это непорядок.

[KillJoy]

И все же как брать интеграл?

[ewert]

KillJoy в сообщении #649484 писал(а):

Найти массу дуги кривой $(x+1)^2 + \frac{(y-2)^2}{49} = 1$ при $x\ge-1, y\le2$, если ее плотность $\rho(x,y)=2x-y-xy+2$

Условие провокационно-отвратительно. Сделайте хотя бы напрашивающийся сдвиг координат: $x+1=u,\ y-2=v$ -- интеграл как-то сразу полегчает.