дифференциальное исчисление. кривая.

[gefest_md]

Объясните, пожалуйста, что такое особая точка, ($\mathbf{r}^\prime(t_0)=\mathbf{0}$)? Что означает это геометрически?

Также хотелось бы лучше понять, что такое спрямляемая кривая ($S_\Gamma<+\infty$). Связано это как-то с концом кривой. Я не знаю. Пытаюсь гадать.

[мат-ламер]

gefest_md в сообщении #648592 писал(а):

Объясните, пожалуйста, что такое особая точка, ($\mathbf{r}^\prime(t_0)=\mathbf{0}$)? Что означает это геометрически?

Заметьте, что это особая точка пути, а не кривой. На форме кривой это может не сказаться никак, а может и сказаться (например, появиться излом).

-- Пт ноя 23, 2012 21:02:48 --

gefest_md в сообщении #648592 писал(а):

Также хотелось бы лучше понять, что такое спрямляемая кривая ($S_\Gamma<+\infty$).

Не пробовали задать вопрос хотя-бы Гуглу.

-- Пт ноя 23, 2012 21:26:11 --

gefest_md в сообщении #648592 писал(а):

Также хотелось бы лучше понять, что такое спрямляемая кривая

Для начала нужно разобраться, что такое кривая. Естестественным выглядит её определение как класс эквивалентных путей. (Шабат, Введение в комплексный анализ. Самое начало).

[gefest_md]

Пусть кривая задана на $[a,\ b]$ и $t_0\in(a,\ b).$ И пусть на $[a,\ t_0]$ кривая гладкая ("нормальная"), а для любого $\psi\in(t_0,\ b]$, $\mathbf{r}(\psi)=\mathbf{r}(t_0).$ Тогда по-видимому $\mathbf{r}^\prime(t_0)=0.$
Есть другой вопрос, что такое не строго возрастающая длина кривой?

мат-ламер в сообщении #648649 писал(а):

Не пробовали задать вопрос хотя-бы Гуглу.

Попробую.

[мат-ламер]

gefest_md в сообщении #648865 писал(а):

Пусть кривая задана на $[a,\ b]$ и $t_0\in(a,\ b).$ И пусть на $[a,\ t_0]$ кривая гладкая ("нормальная"), а для любого $\psi\in(t_0,\ b]$, $\mathbf{r}(\psi)=\mathbf{r}(t_0).$ Тогда по-видимому $\mathbf{r}^\prime(t_0)=0.$

Ничего не понял. В чём смысл этого утверждения?

-- Сб ноя 24, 2012 14:31:23 --

gefest_md в сообщении #648865 писал(а):

Есть другой вопрос, что такое не строго возрастающая длина кривой?

А что за книгу Вы читаете? (Я просто никогда не слышал такого определения).

-- Сб ноя 24, 2012 14:32:42 --

gefest_md в сообщении #648592 писал(а):

Также хотелось бы лучше понять, что такое спрямляемая кривая

И как трактуется этот термин в Вашем учебнике?

[gefest_md]

мат-ламер в сообщении #648872 писал(а):

В чём смысл этого утверждения?

Если построить кривую так, как я попытался, то производная в $t_0$ будеть ноль? или нет. И длина кажется будет не строго возрастающей. Сейчас я изучаю отношение $\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\frac{ds}{dt}}$, $s$ - длина.

-- Сб ноя 24, 2012 12:38:51 --

Кудрявцев, Краткий курс.

[alcoholist]

gefest_md в сообщении #648865 писал(а):

Пусть кривая задана на $[a,\ b]$ и $t_0\in(a,\ b).$ И пусть на $[a,\ t_0]$ кривая гладкая ("нормальная")

постоянное отображение -- тоже гладкая кривая

[мат-ламер]

alcoholist в сообщении #648881 писал(а):

Кудрявцев, Краткий курс.

Посмотрел Кудрявцева. То что я обозвал путём, у Кудрявцева называется представлением кривой. Спрямляемую кривую он (как и все) определяет как кривую, у которой есть длина. Тут же он определяет понятие длины кривой. Что касается особой точки кривой. Берём какой-нибудь путь (представление) этой кривой. Если у этого пути особая точка, то и у любого пути будет особая точка в этом месте. Значит можно говорить о особой точке кривой. В ней возможен излом кривой. В неособой точке излом невозможен.