Механика. Неинерциальные СО.

[Hydrogen]

Цитата:

Металлическая цепочка длиной $l=0,5\,\text{м}$, концы которой соединены, насажена на деревянный диск (рис.). Диск вращается с частотой $n=60\,\text{об/с}$. Масса цепочки $m=40\,\text{г}$. Определить силу натяжения $T$ цепочки.

Свяжем СО с шариком цепочки, массу которого обозначил за $m_\text{ш}$ и напишем второй закон Ньютона. На шарик действуют три силы: две силы натяжения $\vec T_1$ и $\vec T_2$, равные по модулю, а также сила инерции $\vec F_i$. Второй закон Ньютона:

$$ \vec{F_i } + \vec{T_1} + \vec{T_2} = 0$$

Иными словами, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю (рис.).

Рассмотрим получившийся треугольник $ABC$. Его можно решить и найти $T$, так как известна сторона и два прилежащих к ней угла. $AC=\omega^2Rm_\text{ш}=2 \pi n^2lm_\text{ш}$, $\angle{ACB}=\angle{CAB}=67,5^{\circ}$. Решая его, получаем

$$T=\frac{\sin{67,5^{\circ}}\cdot 2 \pi n^2lm_\text{ш}} {\sin{45^{\circ}}}\approx73,8\,\text{Н}$$

Только вот незадача: в ответе учебника совсем другая формула и ответ, соответственно, немного другой.

Цитата:

4. $T=mnl^2=72\,\text{Н}$

Получается, что ответ не зависит от количества шариков в цепи, а значит, мое решение в корне неверно. Хотя я строю догадки, что только в случае с таким количеством шариков эти углы где-то сокращаются и больше в решении не участвуют. Как прийти к формуле для нахождения $T$, не содержащей углов?

[miflin]

Не надо воспринимать рисунок буквально. Представляйте нить.
Выделите на ней бесконечно малый элемент $dl=Rd\varphi$
К концам его приложены по касательным силы натяжения $T$,
равнодействующая которых $Td\varphi$.
В ответе, кстати, опечатка (то ли у Вас, то ли в задачнике).
$T=mln^2=72H$

[Hydrogen]

miflin в сообщении #648401 писал(а):

Не надо воспринимать рисунок буквально. Представляйте нить.
Выделите на ней бесконечно малый элемент $dl=Rd\varphi$
К концам его приложены по касательным силы натяжения $T$,
равнодействующая которых $Td\varphi$.
В ответе, кстати, опечатка (то ли у Вас, то ли в задачнике).
$T=mln^2=72H$

Спасибо за корректное решение, ответ сошелся.

[miflin]

Если в Вашем первоначальном решении сделать предельный переход: $8\rightarrow\infty$,
и учесть, что при малых значениях аргумента выполняется $\tg\varphi\approx\sin\varphi\approx\varphi$ -
чем меньше $\varphi$, тем точнее, - то Ваше решение перейдет в то, которое ожидал от Вас автор задачи.

[Hydrogen]

miflin в сообщении #648941 писал(а):

Если в Вашем первоначальном решении сделать предельный переход: $8\rightarrow\infty$,
и учесть, что при малых значениях аргумента выполняется $\tg\varphi\approx\sin\varphi\approx\varphi$ -
чем меньше $\varphi$, тем точнее, - то Ваше решение перейдет в то, которое ожидал от Вас автор задачи.

Да, это был первый шаг, который я выполнил, чтобы проверить, можно ли мое решение свести на случай нити. Просто рисунок сбил меня с толку ><