Интересная задача на движение в поле тяжести

[RustamG]

Все, наверное, кто интересуется физикой, сталкивались с задачей из Савченко, которая звучит следующим образом: с какой минимальной скоростью нужно кинуть камень с земли, чтобы он перелетел дом высотой h и длиной L, причем место для броска можно выбирать произвольно?

Решив эту задачу, я задумался, а что, если зафиксировать расстояние от дома d, и найти оптимальный угол и минимальную скорость перелета через дом, находясь на расстоянии d от дома? Попыток было сделано много, однако, все они приводили лишь к частичному решению задачи.

Жду ваших решений!
Заранее спасибо!

[_Ivana]

Наше решение в первом приближении присутствует. Из уравнений движения и условий перелета ближнего и дальнего верхних углов дома получаем 2 уравнения зависимости скорости от угла вылета, удовлетворяющие этим условиям. Находим минимальное значение скорости из этих графиков (либо точка их пересечения, либо точка минимума того, который больше) - получаем нужный угол вылета и соответствующую ему скорость - она будет минимально возможной при данных ограничениях. На компе графики выглядят красиво, решение получается не сложно.

Ждем реализации вашего решения.

[RustamG]

Насколько я понял, вы составляете два уравнения и затем строите графики на компьютере.

Но я хочу увидеть решение с ручкой и листочком без применения компьютера. Просто в этом то и сложность задачи, что все время погрязаешь в математике.

Те уравнения, выражающие условие перелета через ближний и дальний верхних углов, я составлял и пытался анализировать их. Там получалось что-то очень туго с математикой и мне показалось, что можно найти тчо-то красивое. Одним словом, не хочу идти на пролом, может здесь есть то, что можно увидеть?
Спасибо!

[Alexandr007]

RustamG в сообщении #648160 писал(а):

Но я хочу увидеть решение с ручкой и листочком без применения компьютера.

Кинем камень обратно от верхней дальней точки здания, к ближней верхней и до уровня земли. Минимальная скорость броска соответствует углу броска 45 градусов к горизонту, потом рассчитываем где упадет.

[_Ivana]

RustamG в сообщении #648160 писал(а):

Но я хочу увидеть решение с ручкой и листочком без применения компьютера.

Кто ж вам не дает его получить? Условия известны - находим точку пересечения графиков, потом точку минимума скорости для дальнего края крыши, смотрите что меньше (при условии пересечения областей определения), то и выбираете. Я считаю что задача уже решена, поэтому дальнейшего интереса аналитическое копание в тригонометрии для меня не представляет.

Alexandr007 в сообщении #648173 писал(а):

потом рассчитываем где упадет.

и получаем что упал совсем не в заданной точке вылета - и что нам это дает?

[RustamG]

Ivana, безусловно физика в этой задаче уже разобрана. Но в этом то и дело,что аналитическое копание представляется тяжелым. Я в принципе понимаю, о чем вы говорите. У нас там получится два неравенства для скорости. Там есть два минимума: один для ближнего, другой - для дальнего. Выбираем наибольший из этих двух.
Ну вот в этом, собственно, и проблема. Если мне не изменяет память, то там получаются уравнения с 3 или даже 4 степенью.
Я просто хочу узнать, знает ли кто-либо решение более изящное.

Спасибо!

[Alexandr007]

_Ivana в сообщении #648179 писал(а):

и получаем что упал совсем не в заданной точке вылета

Ошибся, начал решать исходную задачу.

[_Ivana]

RustamG в сообщении #648229 писал(а):

У нас там получится два неравенства для скорости. Там есть два минимума: один для ближнего, другой - для дальнего.

Это правильно. А дальше - неправильно. Если бы вы построили графики этих функций при разных исходных данных, вы бы увидели все возможные варианты.
У нас 2 графика 2-х функций, вторая производная всегда положительна - выпуклость вниз, с разной областью определения - минимальный угол для дальней точки меньше чем для ближней - вертикальные асимптоты являются значениями углов "прямой видимости" вершин из точки вылета. Правая вертикальная асимптота общая и равна $\pi / 2$ - понятно почему (при приближении к вертикали на нужна большая скорость чтобы перелететь в длину). У этих графиков есть точка пересечения на общей области определения и минимум у каждого, причем минимум для дальней точки всегда больше. Поэтому мы смотрим - если точка минимума для дальней вершины лежит вне общей области определения - берем точку пересечения, иначе берем точку минимума дальней вершины (через ближнюю получается при этом гарантированный перелет).
Что, впрочем, не мешает вам приложить усилия к нахождению аналитического решения как точки пересечения, так и точки минимума.

[RustamG]

Спасибо, я попробую!