Сходимость

[renat]

Здравствуйте! Еще один вопрос по терверу!

Последовательность $\xi_n$ строится по следующему правилу: $\xi_{-1}=1, \xi_{0}=0$, при $n\geq 1$ $\xi_n$ равномерно распределена на отрезке $\xi_{n-2}$ и $\xi_{n-1}$. Нужно доказать, что последовательность сходится почти наверное к некоторой случайной величине.

Есть предположение проверить, что она фундаментальна, тогда, если не ошибаюсь, есть критерий, что сходится почти наверное тогда и только тогда, когда фундаментальна. Верно ли это?
Как можно проверить, что она фундаментальна?

[zhoraster]

Ну да, фундаментальна. А Вы порисуйте и вообще постарайтесь представить, как вообще такое может быть, что подобная (то есть такая, где следующий член между двумя предыдущими) последовательность не сходится. Авось там и докажется.

[renat]

Ну, например, если длины отрезков не стремятся к нулю, а стремятся к какому-то фиксированному числу. Мне вот как раз и не понятно, почему в данном случае такого не будет?

[gris]

А вот тут будут действовать слова "почти наверное" при равномерном распределении. Вероятность того, что концы отрезков будут гнездиться (соответственно) в двух малюсеньких непересекающихся интервалах равна нулю.

[renat]

Спасибо!

Я так и подумал, что как-то отсюда должно следовать, только не знаю, как формально все это объяснить... Подскажите, пожалуйста!

[zhoraster]

Формально, например, так: докажите, что бесконечно часто длина отрезка будет делиться как минимум вдвое.