Изоморфизм

[coopersh]

Возникли затруднения при доказательстве следующего факта:

Пусть $S$ - мультипликативно замкнутое подмножество кольца $A$. Тогда имеет место следующее:

$$S^{-1}A \otimes_{A} M \cong S^{-1}M$$

Помогите, пожалуйста!

[muzeum]

Попробуйте рассмотреть билинейное отображение

$$S^{-1}A \times M \to\, S^{-1}M$$

определенное, естественно, так:
$\left(\frac{a}{s}\;,\;m\right)\to\,\frac{am}{s}$
Покажите, что это действительно корректное определение и для соответсвующего гомоморфизмов А-модулей

$$S^{-1}A \otimes_{A} M \to\, S^{-1}M$$

докажите, что это - изоморфизм (сюръективность очевидна, рассмотрите ядро).

[coopersh]

Спасибо за ответ.
Подскажите, пожалуйста, как показать корректность для тензорного произведения, что-то я не понимаю...

[Joker_vD]

Вам не надо доказывать корректность для тензорного произведения. Вам надо показать, что та формула — действительно задает билинейное отображение. Тогда свойство универсальности автоматически даст вам гомоморфизм из тензорного произведения, который и надо будет разглядеть повнимательней.

(Оффтоп)

Кстати, никто не пробовал составлять список типичных приемов доказательства изоморфности?

[Leox]

Что такое $M$?

[muzeum]

Чего-то я не понял: писал ответ, но теперь его не нашел, может, не туда писал?

Цитата:

Что такое $M$?

- модуль над кольцом А, полагаю.

Прежде всего нужно доказать корректность определения отображения:
$\left(\frac{a}{s}\;,\;m\right)\to\,\frac{am}{s}$
Здесь $\frac{a}{s}$ определено не однозначно, т.к. две различные дроби могут быть равны между собой (подобно школьным: 1\2 = 6\12). Нужно показать, что если $\frac{a}{s}=\frac{b}{t}$, то и $\frac{am}{s}=\frac{bm}{t}$, что и будет означать, что образ элемента не зависит от способа его представления в виде дроби.
Потом, конечно, надо доказать билинейность, но это очевидно.
А потом то, что поясняли:

Цитата:

Joker_vD
Вам не надо доказывать корректность для тензорного произведения. Вам надо показать, что та формула — действительно задает билинейное отображение. Тогда свойство универсальности автоматически даст вам гомоморфизм из тензорного произведения, который и надо будет разглядеть повнимательней.

[coopersh]

Значит, я построил отображение из прямого произведения, как Вы сказали. Проверил, что оно билинейно (это действительно несложно). Таким образом, универсальное свойство задает гомоморфизм из тензорного произведения, осталось доказать, что он сюръективен и инъективен. То что каждый элемент из $S^{-1}M$ имеет прообраз, кажется, ясно. Правильно я понимаю, что мне осталось доказать тривиальность ядра? И как это сделать?

Спасибо большое всем за помощь!

[muzeum]

Цитата:

Правильно я понимаю, что мне осталось доказать тривиальность ядра? И как это сделать?

Предположить, что для некоторого элемента тензорного произведения $\sum_{i}\left(\frac{a_i}{s_i}\otimes{m_{i}}\right)$ имеет место $\sum_{i}\frac{a_im_i}{s_i}=0$ и сделайте далеко идущие выводы. Для облегчения раздумий заметьте, что вместо набора $s_{i}$ можно сразу писать один элемент - общий знаменатель $s$.

[coopersh]

Извините, не могли бы Вы немного пояснить, что Вы написали? Каким образом у нас уйдут $s_i$, если мы приведем к общему знаменателю?

[muzeum]

Цитата:

Каким образом у нас уйдут $s_i$, если мы приведем к общему знаменателю?

Мы просто обозначим его буквой $s$. А те $a_i$, которые стоят в числителе можно оставить с тем же обозначением.
Таким образом, предполагая, что $\sum_{i}\frac{a_im_i}{s}=0$, нужно доказать, что $\sum_{i}\left(\frac{a_i}{s}\otimes{m_{i}}\right)=0$