Уравнение

[Trius]

Найти сумму всех действительных корней уравнения $x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2004$

[Lion]

Если сделать замену $x=\frac{1}{\sin t}$, $t\in(0;\pi/2)$, то уравнение запишется в виде $\frac{1}{\sin t}+\frac{1}{\cos t}=2004=p$. Возведем его в квадрат и получим: $y^2+2y-p^2=0$, где $y=\frac{1}{\sin t\cos t}=\frac{2}{\sin 2t}$. Дальше решаем квадратное уравнение и вуаля...

[незваный гость]

Поскольку корней два, и преобразование $x \to \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ не меняет уравнение, то сумма корней равна $2004$.

[Lion]

А как Вы поняли, что корней только 2?

[незваный гость]

По графику .

Если чуть серьезнее , то легко доказать (взяв производную), что график U-образный, с минимумом в $2^{-1/2}$, и, соответственно, на каждом промежутке монотонности мы имеем по корню.