Дробная часть

[Trius]

Доказать, что если для произвольных $x,y$ исполняется $\{x\}+\{2x\}=\{y\}+\{2y\}$то $\{x\}=\{y\}$
Существует ли натуральное $n\geq 3$, что для любых чисел $x,y$, которые удоволетворяют $\{x\}+\{nx\}=\{y\}+\{ny\}$исполняется также и $\{x\}=\{y\}$?

[Lion]

Вероятно, должно быть так:

Цитата:

Доказать, что если для произвольных $x,y$ исполняется $\{x\}+\{2x\}=\{y\}+\{2y\}$, то $\{x\}=\{y\}$.
Существует ли натуральное $n\geq 3$, что для любых чисел $x,y$, которые удоволетворяют $\{x\}+\{nx\}=\{y\}+\{ny\}$, исполняется также и $\{x\}=\{y\}$?

[Trius]

ага , уже исправил

[Юстас]

Всё равно не верно: возьмите $x=\frac13+x_0=\{x\},\ y=\frac23+x_0=\{y\}$, где $x_0$ - очень маленькое, например $10^{-2}$. Аналогично можно построить пример для любого $n$.

[Trius]

да, действительно не верно
С таким условием эта задача была на Всеукраинской олимпиаде за 2006 год