В единичном шаре

рассмотрим уравнение Лапласа

Фундаментальным решением этой задачи является функция

которая удовлетворяет граничным условиям в обычном смысле и самому уравнению с дельта-функцией в правой части в смысле обобщенных функций.
Исходная задача Дирихле для уравнения Лапласа в единичном шаре порождает самосопряженный оператор

в гильбертовом пространстве квадратично-суммируемых функций в единичном шаре с областью определения

Обратный к нему оператор (интегральный) как известно является компактным, и поэтому система собственных функций образует ортонормированный базис в этом пространстве. Обозначим собственные значения

, соответствующие им нормированные собственные функции

.
-- Вт ноя 20, 2012 19:16:27 --Фундаментальное решение необходимо разложить по базису из собственных функций:

Есть гипотеза, что

Эта гипотеза родилась из следующей цепочки формальных равенств
