Можно ли решить такое уравнение

[Sonic86]

$$a^x+b^y=(a+b)^z, \ x,y,z>1, a,b,c,x,y,z\in\mathbb{N}$$

Я пока в уравнениях не силен, потому вышло только $y=x \vee y=z$ + 2 серии решений, получаемых через "однородность" через решение уравнения Каталана и решения $2^x+2^x=4^z$ - $x+1=2z$.

[AleksandrPavlovich]

Если z не обязательно целое,
то z = \log(a^x+b^y)/\log(a+b)

[Sonic86]

AleksandrPavlovich в сообщении #646831 писал(а):

Если z не обязательно целое,

исправил

[Andrey A]

Можно положить b^y наименьшим слагаемым и записать грубое приближение: (a+b)^z\approx a^x.
Тогда z\log (a+b)\approx x\log a; \log_a(a+b)\approx \frac{x}{z}
Раскладывая \log_a(a+b) в непрерывную дробь (без этого никак ), получаем "точки сближения" прогрессий a^n и (a+b)^n. Вместе с тем получаем ограничение на возможные пары x;z (только вз. простые), но можно рассматривать и пропорциональные варианты. Таким способом быстро находятся примеры типа 7^3+7^4=14^3, которые нетрудно обобщить, и разновидности евклидовых троек: 4^3+6^2=10^2. А для вз. простых a;b что-то не видать решений, только с единицей.
Так еще бывает: 4^7+47\cdot 3^2=7^5, но это уже не в тему.