Хаусдорфово пространство

[_Z_]

Помогите понять, как условие хаусдорфа связано с "ветвлением" многообразия. По условию хаусдорфовости для любых двух точек всегда должны существовать открытые окрестности. В примере на рис б) показано многообразие с "ветвлением". Я не могу понять, почему на нем не выполняется условие хаусдорфовости.

[fancier]

Простой пример: склейте две копии прямой $\mathbb{R}\times a$ и $\mathbb{R}\times b$ по отношению эквивалентности $(x,a)\sim (x,b)\; \Leftrightarrow \; x<0.$ Тогда у двойного нуля в полученном факторпространстве нарушено условие хаусдорфовости.

(Оффтоп)

Пенроуза лучше читать в английском оригинале, так как русский перевод отвратителен.

[alcoholist]

тут просто рисунок неудачный)

Представьте, что некоторое пространство $M$ покрыто двумя картами $f_i\colon U_i\to\mathbb{R}$ ($M=U_1\cup U_2$) так, что каждое $U_i$ гомеоморфно прямой и $U_1\cap U_2=M\setminus\{a_1,a_2\}$, при этом $M=U_i\cup\{a_i\}$.

Вот эти карты склеены неправильно, с ветвлением ("раздвоенная точка" $\{a_1,a_2\}$)

Кажется, это называется "прямая Александрова"

[_Z_]

Не, не )) Такие сложные формулы не надо )) Попроще - где на рисунке две такие точки, которые нельзя поместить в непересекающиеся окрестности?

[alcoholist]

_Z_ в сообщении #646483 писал(а):

где на рисунке

я же говорю: рисунок неудачный, там их нет

[fancier]

_Z_ в сообщении #646483 писал(а):

где на рисунке две такие точки, которые нельзя поместить в непересекающиеся окрестности?

эти точки лежат на разных "лоскутах" на границе открытых множеств, по которым происходит склеивание.

[_Z_]

fancier в сообщении #646497 писал(а):

_Z_ в сообщении #646483 писал(а):

где на рисунке две такие точки, которые нельзя поместить в непересекающиеся окрестности?

эти точки лежат на разных "лоскутах" на границе открытых множеств, по которым происходит склеивание.

По моему для таких точек очень даже будут окрестности без пересечения. Ведь размер окрестности я могу взять на сколько угодно малым.

-- Пн ноя 19, 2012 17:20:42 --

alcoholist в сообщении #646490 писал(а):

_Z_ в сообщении #646483 писал(а):

где на рисунке

я же говорю: рисунок неудачный, там их нет

Нашел определение "прямая Александрова", это нечто другое (объединение интервалов [0;1)). Пытался представить ваш пример, что то не получается. Его как то изобразить можно?

[fancier]

Цитата:

По моему для таких точек очень даже будут окрестности без пересечения.

Не для всех пар таких точек.

[_Z_]

fancier в сообщении #646509 писал(а):

Цитата:

По моему для таких точек очень даже будут окрестности без пересечения.

Не для всех пар таких точек.

Вот я никак не могу найти хотя бы одну такую пару.

[fancier]

Цитата:

Вот я никак не могу найти хотя бы одну такую пару.

Чтобы было проще найти, в своем первом ответе я привел простейший одномерный случай такого склеивания.

[_Z_]

fancier в сообщении #646518 писал(а):

Цитата:

Вот я никак не могу найти хотя бы одну такую пару.

Чтобы было проще найти, в своем первом ответе я привел простейший одномерный случай такого склеивания.

Двойной ноль? Это одна точка? Или две?

[fancier]

Две -- одна на одной прямой, другая -- на другой. У них-то как раз и не будет непересекающихся окрестностей.

[alcoholist]

_Z_ в сообщении #646508 писал(а):

Нашел определение "прямая Александрова", это нечто другое (объединение интервалов [0;1))

значит я неправильно помню название

_Z_ в сообщении #646508 писал(а):

fancier в сообщении #646497 писал(а):
_Z_ в сообщении #646483 писал(а):
где на рисунке две такие точки, которые нельзя поместить в непересекающиеся окрестности?

эти точки лежат на разных "лоскутах" на границе открытых множеств, по которым происходит склеивание.

По моему для таких точек очень даже будут окрестности без пересечения. Ведь размер окрестности я могу взять на сколько угодно малым.

в примере

fancier в сообщении #646465 писал(а):

Простой пример: склейте две копии прямой $\mathbb{R}\times a$ и $\mathbb{R}\times b$ по отношению эквивалентности $(x,a)\sim (x,b)\; \Leftrightarrow \; x<0.$

классы точек $(0,a)$ $(0,b)$ в факторпространстве не имеют непересекающихся окрестностей

[_Z_]

Спасибо, теперь понял.