Интересные диф. уравнения.

[never-sleep]

Есть вопросы по 2 диффурам

1) $y'y'''=\big(y''\big)^2+\big(y'\big)^2y''$

$z=y'$

$zz''=\big(z'\big)^2+z^2z'$

А как дальше? Была идея $p=z'\;\;\;z''=p'$, но не вышло ничего(

2) $yy'+2x^2y''=x(\big y'\big)^2$

Уравнение смахивает на обобщенно-однородное с $m=-1$. То есть замена $z=y^{-1}$ должна свести к однородному, но почему=то не сводит...

[Алексей К.]

never-sleep в сообщении #646220 писал(а):

А как дальше? Была идея $p=z'\;\;\;z''=p'$, но не вышло ничего(

Идея (почти) правильная, но неправильно реализованная. Перечитайте внимательнее тот учебник.
Там предлагали $$z'' \equiv \dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dz}\cdot\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dp}{dz}\cdot p$

[never-sleep]

Алексей К. в сообщении #646225 писал(а):

Идея (почти) правильная, но неправильно реализованная. Перечитайте внимательнее тот учебник.
Там предлагали $$z'' \equiv \dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dz}\cdot\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dp}{dz}\cdot p$

Спасибо

$zz''=\big(z'\big)^2+z^2z'$

$$z'' \equiv \dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dz}\cdot\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dp}{dz}\cdot p$

$zz''=\big(z'\big)^2+z^2z'$

$z\cdot \dfrac{dp}{dz}\cdot p=p^2+zp$

a) $p=0 \;\;\Rightarrow\;\; z=const \;\;\Rightarrow\;\; y=C_1x+C_2$

b) $p\ne 0$. Тут однородное уравнение выходит $z\cdot \dfrac{dp}{dz}=p+z$

2) А как вторую делать?

[Алексей К.]

never-sleep в сообщении #646237 писал(а):

$z\cdot \dfrac{dp}{dz}\cdot p=p^2+zp$

$z\cdot \dfrac{dp}{dz}\cdot p=p^2+z^{\text{\color{magenta}\Large 2}}p$

-- 19 ноя 2012, 00:43:05 --

never-sleep в сообщении #646237 писал(а):

2) А как вторую делать?

Я бы и про вторую поискал в учебниках, но у меня кончились выходные. Спатки, и на работку. Сорри. Здесь много спецов, которые и без учебника сообразят.

[never-sleep]

Спс $z\cdot \dfrac{dp}{dz}\cdot p=p^2+z^2p$

a) $p=0 \;\;\Rightarrow\;\; z=const \;\;\Rightarrow\;\; y=C_1x+C_2$

b) $p\ne 0$. Тут линейное уравнение выходит $z\cdot \dfrac{dp}{dz}=p+z^2 \;\;\Rightarrow\;\dfrac{dp}{dz}-\frac{p}{z}=z$ Как это решать - знаю.

-- 18.11.2012, 23:50 --

Алексей К. в сообщении #646249 писал(а):

Я бы и про вторую поискал в учебниках, но у меня кончились выходные. Спатки, и на работку. Сорри.

Спасибо, спокойной ночи, удачной недели!

-- 18.11.2012, 23:50 --

P.S. Может еще кто подскажет и по второй задаче...