Алгебра

[Plotnikov]

Добрый день! Возникли трудности с такой вот задачей:
$I, J$--идеалы в кольце $A$. Нужно доказать, что $A/I \otimes_{A}A/J=A/(I+J)$.

Буду очень благодарен за помощь!

[fancier]

Рассмотрим $A$-билинейное отображение

$$ \beta^\prime \colon A/I\times A/J\rightarrow A/(I+J),\quad \beta^\prime(a_1+I,\, a_2+J)=a_1a_2+I+J. $$

Из универсального свойства тензорного произведения следует существование гомоморфизма $\beta \colon A/I\otimes_A\A/J\rightarrow A/(I+J)$ такого, что соотв. треугольная диаграмма коммутативна. Покажем, что $\beta$ -- изоморфизм колец.

Рассмотрим коммутативную диаграмму с точными строками:
$\xymatrix{ & I\otimes_AA/J \ar[r]^-\lambda \ar[d]^-\gamma & A\otimes_AA/J \ar[r]^-\varphi \ar[d]^-\alpha & A/I\otimes_AA/J \ar[r] \ar[d]^-\beta & 0 \\ 0\ar[r] & (I+J)/J \ar[r]^-\chi & A/J \ar[r]^-\psi & A/(I+J) \ar[r] & 0. \\ }$
В ней сюръективный гомоморфизм $\gamma$ есть композиция

$$I\otimes_AA/J\cong I/IJ\rightarrow I/(I\cap J)\cong (I+J)/J,$$

а $\alpha$ -- очевидный изоморфизм.
1) $\beta$ инъективен. Так как $\varphi$ сюръективен, для $a,\; \beta(a)=0,$ выберем прообраз $b,$ тогда $\psi(\alpha (b))=0$ и в силу точности нижней строки $\exists c\in (I+J)/J$ такой что $\chi(c)=\alpha(b).$ Гомоморфизм $\gamma$ сюръективен, поэтому $\exists c^\prime \in I\otimes_AA/J$ такой что $\gamma(c^\prime)=c$, но тогда $\lambda(c^\prime)=b$ (потому что $\alpha(\lambda(c^\prime))=\alpha(b),$ а $\alpha$ -- изоморфизм), а значит в силу точности $a=\varphi(b)=0.$

2) $\beta$ сюръективен. Выберем $a\in A/(I+J)\; \Rightarrow \; \exists b\in A/J$ такой, что $\psi(b)=a\; \Rightarrow \; \beta(\varphi(\alpha^{-1}(b)))=\psi(b)=a\; \Rightarrow \; a\in \operatorname{Im}(\beta).$

P.S.: Что-то сложно получилось, наверное, можно и проще доказать -- факт вроде стандартный.