Квадратный корень от линейной комбинации столбцов матрицы K

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! Пусть мы решили уравнение $ax+by+cz=0$ без бреда, следуя указаниям учебника Нестеренко. У нас получилось выражение, в котором присутствуют столбцы некоторой матрицы K. Как теперь решить уравнение вида $a={a_1}^2$, тоже являющееся диофантовым, так, чтобы $a_1$ было целым числом?

C уважением, Николай

-- 17.11.2012, 00:02 --

Поясню проблему: я знаю, что решение уравнения $m=n^2$ основывается на следующем наблюдении: $1+3=4$, $4+5=9$, $9+7=16$...
Но требуется найти наиболее простую форму выражения, потому что надо будет решать ещё количественные аспекты.

[bot]

Nikolai Moskvitin в сообщении #645569 писал(а):

Как теперь решить уравнение вида $a={a_1}^2$, тоже являющееся диофантовым, так, чтобы $a_1$ было целым числом?

В общем случае никак, например, уравнение $4x-y^2=1$ не имеет решений в целых числах.

Nikolai Moskvitin в сообщении #645569 писал(а):

Поясню проблему: я знаю, что решение уравнения $m=n^2$ основывается на следующем наблюдении: $1+3=4$, $4+5=9$, $9+7=16$...

Опять огород городите? Все решения этого уравнения описываются самим этим уравнением - берём произвольное $n$ и из уравнения вычисляем $m$.

[Nikolai Moskvitin]

1)

bot в сообщении #645600 писал(а):

В общем случае никак,

А может, если, например, какие-то особые коэффициенты? :) (мало ли...)
Тем более, что в правой части всё-таки нуль и уравнение однородное (правда наверное от этого лучше при решении нелинейного уравнения не становится).
2)

bot в сообщении #645600 писал(а):

Опять огород городите? Все решения этого уравнения описываются самим этим уравнением - берём произвольное $n$ и из уравнения вычисляем $m$.

bot, самому стало смешно :)

3)
Вот собственно уравнение, которое я пытался решить:
$4q^2a^2 + r^2b^2 + p^2c^2 - 4b^2p^2 - c^2q^2 - a ^2r^2=0$ Я сделал две последовательные замены, откуда и возникло то уравнение, про которое я писал бред :). Первая замена состояла в понижении степени и сведению к линейному, а вторая- в группировке подобных слагаемых. Вы же согласны, что его по-другому трудно решить. Так как оно описывает вполне определённую задачу, у которой уже найдено одно численное решение, я думаю, уравнение решается.

[bot]

Пока неизвестно, какие буквы в этом уравнении обозначают неизвестные, обсуждать нечего.

[Nikolai Moskvitin]

bot в сообщении #645876 писал(а):

какие буквы в этом уравнении обозначают неизвестные

bot, все! :)

[bot]

Ну и задачки у Вас. Ладно бы найти число, имеющие два представления в виде суммы трёх квадратов, так эти представления ещё должны быть жёстко связаны.

[Nikolai Moskvitin]

bot в сообщении #646072 писал(а):

найти число, имеющие два представления в виде суммы трёх квадратов, так эти представления ещё должны быть жёстко связаны.

bot, а почему нельзя решить другим путём:
$4q_1a_1+r_1b_1+p_1c_1-4b_1p_1-c_1q_1-a_1r_1=0 $(1),
где $a_1=a^2$, $b_1=b^2$, $c_1=c^2$, $p_1=p^2$, $q_1=q^2$,$r_1=r^2$.
Уравнение (1) можно упростить с помощью группировки слагаемых. Например:$ a_1(4q_1-r_1)+b_1(r_1-4p_1)+c_1(p_1-q_1)=0$, дальше- ещё одна замена и получаем:
$4q_1-r_1=x$
$r_1-4p_1=y$
$p_1-q_1=z$ (2)

$ax+by+cz=0$ (3)

Решения (2) и (3) дадут решение (1).