Ветка для беседы с Ilja про время и пространство

[SergeyGubanov]

Ilja в сообщении #628200 писал(а):

Мы не имеем метода определить, какая из координат в истории вселенной определяет абсолютное время? Да. Жаль, конечно...

Бурланков показал, что это как бы не совсем так. Глобальное время это не какое-то там волшебство, а вполне определённая вещь.

Сначала договоримся что конкретно следует называть "абсолютным временем". Есть предложение называть им время в глобальной инерциальной системе.

В пространстве Минковского глобальных инерциальных систем бесконечно много, поэтому абсолютное время выделить не получается. В искривлённом пространстве-времени это вырождение снимается. Об этом речь ниже.

Что такое инерциальная система координат? Это такие координаты, в которых выполняется первый закон Ньютона. То есть, неподвижное тело продолжает оставаться неподвижным сколь угодно долго. Это определение не зависит от искривления пространства.

Разумеется, в искривлённом пространстве можно ввести бесконечно много локальных инерциальных систем координат. Область их действия - бесконечно малая окрестность свободно падающей "лаборатории". Нам они не интересны. Нам нужно глобальное время. Где же его взять?..

Пусть мы не знаем глобальную инерциальную систему координат, но есть произвольная система с криволинейными координатами $x^{\mu} = (x^0, x^1, x^2, x^3)$. Свободно падающие тела описываются уравнением Гамильтона-Якоби

$g^{\mu \nu}\frac{\partial S}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial S}{\partial x^{\mu}} = m^2 $

Действие частицы связано с её собственным временем $S = m \tau$ (чтобы не загромождать формулы $c=1$). Следовательно, уравнение собственного времени свободно падающих частиц:

$g^{\mu \nu}\frac{\partial \tau}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial \tau}{\partial x^{\mu}} = 1 $

Если мы отыщем глобальное решение уравнения Гамильтона Якоби и выберем функцию $\tau(x^0, x^1, x^2, x^3)$ в качестве новой времениподобной координаты, то в этих координатах

$\bar{g}^{\tau \tau} = g^{\mu \nu}\frac{\partial \tau}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial \tau}{\partial x^{\mu}} = 1. $

Для перехода в инерциальную систему координат далее останется обратить в ноль компоненты $g^{0 i}$. Для этого достаточно лишь сделать преобразования трёх пространственных координат $x^1, x^2, x^3$. Но нам это уже мало интересно. Ведь глобальное время мы уже нашли.

И так, глобальное время, это когда всегда и везде $g^{0 0} = 1$ (не путать с $g_{0 0}$).

Метрики Шварцшильда, Керра, Рейснера-Нордстрема могут быть преобразованы к системе глобального времени $g^{0 0} = 1$ единственным образом (ну с точностью до константного сдвига по времени естественно). Все космологические задачи изначально пишутся в глобальном времени.

Наоборот, метрика с петлёй во времени "машина времени", очевидно, не может быть приведена к глобальному времени.

Короче, глобальное время это не какое-то там волшебство, а это в общем случае вполне определённая вещь: $g^{0 0} = 1$, утрачивающая свою определённость лишь в пространстве Минковского (или в других пространствах с очень высокой симметрией), когда уравнение Гамильтона-Якоби вдруг имеет бесконечное количество глобальных решений. В реальности, кстати, физическое пространство довольно хаотично искривлено. Чуть-чуть конечно, но для снятия вырождения глобальных инерциальных систем достаточно.

Сейчас модно говорить про спонтанное нарушение симметрии. Ну так вот, если смотреть с этой точки зрения, то само существование материи нарушает симметрию пространства Минковского, оно чуть-чуть искривляется, так появляется глобальное время.

[Ilja]

SergeyGubanov в сообщении #645483 писал(а):

Ilja в сообщении #628200 писал(а):

Мы не имеем метода определить, какая из координат в истории вселенной определяет абсолютное время? Да. Жаль, конечно...

Бурланков показал, что это как бы не совсем так. Глобальное время это не какое-то там волшебство, а вполне определённая вещь.

Сначала договоримся что конкретно следует называть "абсолютным временем". Есть предложение называть им время в глобальной инерциальной системе.

Вопрос что следует называть абсолютным временем - далеко не первый вопрос.

Сначала нужно выяснить, для чего оно нужно. Я вижу несколько причин:

1.) Сохранение реализма и причинности в ситуации где имеется нарушение неравенств Белла. Отсюда мало что прямо следует, кроме пункта что для совместимости абсолютного времени с Эйнштейновской причинности время должно быть времениподобным.

2.) Квантование гравитации. Это существенно облегчается если имеется привилегированное время и, в связи с этим, обычная Гамильтонова формулировка теории с ненулевой энергией.

Это требует разрушения общей ковариантности теории - иначе не получим сохраняющуюся энергию по теореме Нётера.

3.) При этом хочется все-таки сохранить Эйнштейновский принцип относительности - раз это невозможно для всех полей (это было бы общая ковариантность) то хотя бы для материальных полей.

4.) И конечно простота. В привилегированной системе координат уравнения должны быть особенно простыми.

Причины для идентификацией абсолютного времени с каким-то инерциальным системам координат я не вижу.

(3) дает что уравнения для привилегированных координат должны зависеть только от гравитационного поля. Сами координаты - скалярные функции, и для них мало кандидатов для простых уравнении зависящих только от гравитационного поля. Самое естественное тут - это гармоническое уравнение. Оно не только простое для самых координат, но и существенно упрощает сами уравнения Эйнштейна, выполняя (4).

Метод получения гармонического уравнения как уравнения Эйлера-Лагранжа тоже стандартное - брать для привилегированных координат стандартный Лагранжиан для скалярного поля.

Цитата:

В пространстве Минковского глобальных инерциальных систем бесконечно много, поэтому абсолютное время выделить не получается. В искривлённом пространстве-времени это вырождение снимается.

Может в каких-то случаях вырождение снимается. Но не вижу никакой причины на надежду что, кроме в каких-то специальных, симметрических случаях, такая глобальная система вообще существует.

Цитата:

Для перехода в инерциальную систему координат далее останется обратить в ноль компоненты $g^{0 i}$. Для этого достаточно лишь сделать преобразования трёх пространственных координат $x^1, x^2, x^3$. Но нам это уже мало интересно. Ведь глобальное время мы уже нашли.

Но у меня глобальное время будет другим. Однако обратить в ноль компоненты $g^{0 i}$ имеет смысл и моей теории. В тех координатах, которые у меня привилегированные, есть закон сохрания энергии $\rho=g^{00}\sqrt{-g}$, а это плотность эфира в эфирной интерпретации. Но в теории сплошной среды довольно полезно иногда рассматривать не Евклидовы координаты, а сопутствующую систему отсчета. А в этой системе отсчета эфир неподвижен. Скорость эфира в привилегированной системе определяется уравнением $\rho v^i=g^{0i}\sqrt{-g}$, так что $v^i=g^{0i}/g^{00}$. Замена координат чисто пространственная (время остается тем же). Значит правило преобразования получится одинаковым для $v^i$ и для $g^{0i}/g^{00}$.

$$x^{0'} = x^0, \, x^{0'}_{,a} = \delta^{0'}_a,\, g^{0'0'} = x^{0'}_{,a} x^{0'}_{,b} g^{ab} = g^{00}, \, g^{0'i'} = x^{0'}_{,a} x^{i'}_{,b} g^{ab} = x^{i'}_{,i}g^{0i} + x^{i'}_{,0} g^{00},\, v^{i'} = x^{i'}_{,i} v^i + x^{i'}_{,0} $$

Значит формула сохраняется и в сопутствующей системе, в которой, значит, вместе с $v^i=0$ мы получим и $g^{0i}=0$.

Сопутствующие координаты важны при квантовании: Они описывают позиции атомов эфира. Значит, их и нужно квантовать. Если делать это по другому, неправильно, то получится что из-за квантовой неопределенности то плотность может оказаться отрицательной, то уравнение непрерывности может не выполняться точно. Но если только позиция атомов является неопределенной, то уравнение пепрерывности выполняется точно и плотность всегда остается неотрицательной.

Цитата:

Наоборот, метрика с петлёй во времени "машина времени", очевидно, не может быть приведена к глобальному времени.

И я сомневаюсь что существует такое глобальное время в обычной ситуацией на долгое время. Там пахнет каустиками.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #645483 писал(а):

Бурланков показал, что это как бы не совсем так.

Это лженаучное враньё.

Тему пора закрывать.

SergeyGubanov в сообщении #645483 писал(а):

В пространстве Минковского глобальных инерциальных систем бесконечно много, поэтому абсолютное время выделить не получается. В искривлённом пространстве-времени это вырождение снимается.

Контрпример - пространство Де Ситтера (в вашем определении "инерциальности", далеко не стандартном).

[SergeyGubanov]

Ilja в сообщении #645549 писал(а):

Но не вижу никакой причины на надежду что, кроме в каких-то специальных, симметрических случаях, такая глобальная система вообще существует.

Фиксация $g^{0 0} = 1$ приводит к метрике в глобальном времени:

$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right).$

При этом:

$g^{0 0} = 1, \quad g^{0 i} = \frac{1}{c} V^i, \quad g^{i j} = \frac{1}{c^2} V^i V^j - \gamma^{i j},$

$g_{0 0} = 1 - \frac{1}{c^2} \gamma_{i j} V^i V^j, \quad g_{0 i} = \frac{1}{c} \gamma_{i j} V^j, \quad g_{i j} = - \gamma_{i j},$

$\sqrt{-g} = \sqrt{\gamma}$

К такому виду можно привести любую физически осмысленную метрику.

Для примера, вот результат преобразования метрики Керра к глобальному времени:

$\gamma_{rr} &=& \frac{1+\frac{b^2}{r^2}\cos^2(\vartheta)}{1+\frac{b^2}{r^2}} , \\ \nonumber \gamma_{\vartheta \vartheta} &=& r^2 \left( 1+\frac{b^2}{r^2}\cos^2(\vartheta) \right) , \\ \nonumber \gamma_{\varphi \varphi} &=& r^2 \sin^2 (\vartheta) \left( 1 +\frac{b^2}{r^2} \left( 1 + \frac{a}{r} \frac{\sin^2(\vartheta)}{1+\frac{b^2}{r^2}\cos^2(\vartheta)} \right) \right) , \\ \nonumber \gamma_{r \varphi} &=& b \sqrt{\frac{a}{r}} \frac{\sin^2 (\vartheta)}{\sqrt{1 + \frac{b^2}{r^2}}} , \\ \nonumber V^{r} &=& - \sqrt{\frac{a}{r}} \frac{\sqrt{1+\frac{b^2}{r^2}}}{1+\frac{b^2}{r^2}\cos^2(\vartheta)}, $

Ilja в сообщении #645549 писал(а):

Но у меня глобальное время будет другим.

Нам надо будет с Вами договориться. Не может быть двух разных глобальных времён.

Кстати, зачем Вам налагать условия на обычные координаты трёхмерного пространства? Вы же за время боретесь, чтобы получить ненулевой Гамильтониан, вот только на время и наложите условие, а 3D координаты пусть останутся совершенно произвольными. Цель получить ненулевой Гамильтониан уже будет достигнута.

По поводу плотности $\rho$. Вот, пусть у нас есть глобальное время, в котором мы определили Гамильтониан определяющий плотность энергии гравитационного поля и всей прочей материи вместе взятые:

$H = \int \varepsilon \sqrt{\gamma} d_3 x$

Поскольку система замкнутая, энергия сохраняется. В дифференциальном виде, вполне возможно, что это будет выглядеть как-то так (хотя ещё не факт, что так, но допустим):

$\frac{1}{\sqrt{\gamma}}\partial_t (\sqrt{\gamma} \varepsilon) + \frac{1}{\sqrt{\gamma}} \partial_i ( \sqrt{\gamma} \varepsilon V^i ) = 0$

Аналогичную формулу Вы пишете для Вашего $\rho$. Уверены ли Вы в том, что $\rho c^2 = \varepsilon$? Как? Вы же не выписывали явный вид Гамильтониана? Я не понимаю. По моему Ваше $\rho$ положительноопределено. А вот $\varepsilon$ может быть отрицательной. То есть они не связаны друг с другом?

Пока у меня всё. Потом ещё напишу.

-- 17.11.2012, 01:08 --

> Нам надо будет с Вами договориться. Не может быть двух разных глобальных времён.

Придумал! Илья, согласны ли Вы с тем, что в метрике:

(1) $ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} dx^i dx^j.$

время $t$ - глобальное? Думаю, что согласны.

Так вот, а в метрике:

(2) $ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right).$

время $t$ то же самое. Потому что первая метрика отличается от второй лишь преобразованием 3D координат.

Но метрика (2) и есть самый общий вид метрики в которой $g^{0 0} = 1$.

[Ilja]

SergeyGubanov в сообщении #645589 писал(а):

Ilja в сообщении #645549 писал(а):

Но не вижу никакой причины на надежду что, кроме в каких-то специальных, симметрических случаях, такая глобальная система вообще существует.

Фиксация $g^{0 0} = 1$ приводит к метрике в глобальном времени:

$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right).$

К такому виду можно привести любую физически осмысленную метрику.

Не вижу причин этому верить. Один пример ничего не докажет.

Цитата:

Нам надо будет с Вами договориться. Не может быть двух разных глобальных времён.

Необъязательно. Мы можем развивать разные альтернативные теории.

Цитата:

Кстати, зачем Вам налагать условия на обычные координаты трёхмерного пространства?

Из-за квантования. Там нужно не только одно время. Нужно еще иметь ответ на вопрос какая точка на одной метрике соответствует данной точки на другой метрике. Без этого не сможешь определить разумным способом суперпозицию двух гравитационных полей.

The background as a quantum observable: Einstein's hole argument in a quasiclassical context

Цитата:

По поводу плотности $\rho$. Вот, пусть у нас есть глобальное время, в котором мы определили Гамильтониан определяющий плотность энергии гравитационного поля и всей прочей материи вместе взятые:

$H = \int \varepsilon \sqrt{\gamma} d_3 x$

Не так просто. Сохраняющийся Гамильтониан получается из Лагранжево формализма если Лагранжиан не зависит от времени. Просто выбрать координаты еще не дает их.

Цитата:

Поскольку система замкнутая, энергия сохраняется. В дифференциальном виде, вполне возможно, что это будет выглядеть как-то так (хотя ещё не факт, что так, но допустим):

$\frac{1}{\sqrt{\gamma}}\partial_t (\sqrt{\gamma} \varepsilon) + \frac{1}{\sqrt{\gamma}} \partial_i ( \sqrt{\gamma} \varepsilon V^i ) = 0$

Аналогичную формулу Вы пишете для Вашего $\rho$. Уверены ли Вы в том, что $\rho c^2 = \varepsilon$? Как?

Я уверенно что это уравнение моей теорией и оно получается из инвариантности теории по времени с помощью варианта теоремы Нётер. Так что имеет смысл ее назвать энергией.

Цитата:

Вы же не выписывали явный вид Гамильтониана?

Но явный вид Лагранжиана. Я лично не считаю что формализм Гамильтона имеет фундаменталное значение.

Цитата:

Я не понимаю. По моему Ваше $\rho$ положительно определено. А вот $\varepsilon$ может быть отрицательной. То есть они не связаны друг с другом?

К Гамильтониану всегда можно прибавить большую константу, так что это не проблема.

Цитата:

Илья, согласны ли Вы с тем, что в метрике:

(1) $ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} dx^i dx^j.$

время $t$ - глобальное? Думаю, что согласны.

Не вижу причины. По виду метрике нельзя сказать что именно это время является абсолютным. Это уже в пространстве Минковского ясно. А для метрики с произвольным $\gamma_{i j} (x,t)$ тем более.

Цитата:

Но метрика (2) и есть самый общий вид метрики в которой $g^{0 0} = 1$.

С произвольным $\gamma_{i j} (x,t), V^i(x,t)$. Не вижу в этом ничего замечательного.

[SergeyGubanov]

То что в метрике

$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j}(x, t) dx^i dx^j$

время $t$ глобальное - это очень просто. Уравнение Гамильтона-Якоби при произвольном $\gamma_{i j}(x, t)$:

$\frac{1}{c^2}{\frac{\partial S}{\partial t}}^2 - \gamma^{i j} \frac{\partial S}{\partial x^i} \frac{\partial S}{\partial x^j} = m^2 c^2$

очевидно имеет глобальное решение:

$S = - m c^2 t.$

Первый закон Ньютона в этом решении выполняется, то есть по Ньютону эта система инерциальная. Другого определения инерциальности я не знаю.

Ilja в сообщении #645627 писал(а):

Из-за квантования. Там нужно не только одно время. Нужно еще иметь ответ на вопрос какая точка на одной метрике соответствует данной точки на другой метрике. Без этого не сможешь определить разумным способом суперпозицию двух гравитационных полей.

Это очень интересно. Только я думаю, что невозможно сопоставить в соответствие друг другу точки разных пространств. Одно пространство может быть 3-сферой, другое пространством Лобачевского, третье трёхмерным тором и т.п. На сколько я себе это представляю, волновая функция должна быть функционалом полей $\gamma$ и $V$. Суперпозиция разных геометрий -- линейная комбинация таких функционалов. Функционал представлен интегралом по $d_3 x$, а значит выбор трёхмерных координат совершенно произволен.

Ilja в сообщении #645627 писал(а):

Я уверенно что это уравнение моей теорией и оно получается из инвариантности теории по времени с помощью варианта теоремы Нётер. Так что имеет смысл ее назвать энергией.

То что в теории гравитации при фиксации $g^{0 0} = 1$ выполняется уравнение

(1) $\frac{1}{\sqrt{\gamma}} \partial_t ( \sqrt{\gamma} \varepsilon ) + \frac{1}{\sqrt{\gamma}} \partial_i ( \sqrt{\gamma} \varepsilon V^i ) = 0$

это мне известно. Просто если добавить ещё другую материю, то уравнение должно бы измениться. Например, при добавлении электромагнитного поля должна бы добавиться дивергенция вектора Умова-Пойтинга.

-------

Покажу ещё один пример использования глобального времени. Эйнштейн и Штраус в 1945 году пытались сшить два решения: Шварцшильда и Эйнштейна де Ситтера. У них не получилось. Не получилось потому, что у Шварцшильда время не глобальное. Стоит привести метрику Шварцшильда к глобальному времени, как тут же станет ясно как их сшить.

Метрика Шварцшильда приведённая к глобальному времени (Пэнлеве, 1921)

$ds^2 = c^2 dt^2 - (dr - V^r dt)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$

$V^r = \pm \sqrt{\frac{2 k M}{ c^2 r}}$

Перед квадратным корнем годятся оба знака $\pm$ Они отвечают разной физике при приближении к горизонту, то есть теоретически возможны два сорта горизонтов. Кстати, выбор знака плюс делает сингулярность недостижимой: под горизонт попасть становится невозможно. Именно поэтому Бурланков любит выбирать именно знак плюс.

Теперь, чтобы сшить метрику Пэнлеве с метрикой Эйнштейна де Ситтера, надо метрику Эйнштейна де Ситтера привести к аналогичному виду, в результате получаем:

$V^r = \frac{2 r}{3 t}$.

Метрика, которая в одном пределе переходит в метрику Пэнлеве (Шварцшильда), а в другом пределе переходит в метрику Эйнштейна де Ситтера такова:

$V^r = \frac{2 r}{3 t} \pm \frac{1}{t}\sqrt{\frac{R^3}{r}}$.

$R = \operatorname{const}$ -- константа интегрирования.

При этом плотность энергии гравитационного поля:

$dE = \varepsilon \sqrt{\gamma} dr d\theta d\varphi = - \frac{c^2}{4 \pi k} \frac{r}{t} \left( \frac{2 r}{3 t} \pm \frac{1}{t}\sqrt{\frac{R^3}{r}} \right) dr d\theta d\varphi$

Уравнение (1) для этой плотности энергии, конечно, выполняется.

Таким образом, то что не могли сделать Эйнштейн и Штраус в 1945 году, при переходе к глобальному времени делается на счёт раз

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #645483 писал(а):

В искривлённом пространстве-времени это вырождение снимается.

Ба, старый знакомый, со старыми знакомыми бредовыми идеями.

[Prorab]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Пургаторий (Ф)»
Причина переноса: рекомендация заслуженных участников по поводу научного уровня темы.