Доказать неравенство с двойными факториалами

[mark_sandman]

Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство неравенства

$ \frac {\ (2n-1)!!} {\ (2n)!!} < \frac 1 \sqrt{2n+1} $

[xmaister]

Вы знаете как доказывать формулу Валлиса?

[mark_sandman]

xmaister
Да, нашёл доказательство, спасибо... Моё неравенство сразу следует из этой формулы.

[xmaister]

Я имел ввиду идею её доказательства. Переписывать эти фокусы с интегралом $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx$, честно говоря, лень. Погуглите

-- 16.11.2012, 00:55 --

mark_sandman в сообщении #645194 писал(а):

Моё неравенство сразу следует из этой формулы.

Не-не, это неравенство, точнее небольшое его усиление нужно для доказательства Валлиса.

[SpBTimes]

Данное неравенство сразу доказывается по индукции, если расписать факториалы и представить в виде произведения удобных дробей

[sup]

Можно обойтись без индукции. Возводим дробь в квадрат и "грамотно" группируем сомножители в числителе.
Вот один любопытный примерчик использования этой идеи.
Без "сложных" вычислений доказать, что

$$4 < \frac {1 \cdot 3 \cdot 5 \dots 33}{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots 32} <5$$