Дифференциальное уравнение в частных производных

[Mikhail Sokolov]

Пусть функция $G:R^n\to R$ удовлетворяет системе дифференциальных уравнений в частных производных:
$\frac {dG(x_1,...,x_n)}{dx_1} / f_1(x_1) = \ldots = \frac{dG(x_1,...,x_n)}{dx_n} / f_n(x_n)$,
где $f_1,\ldots,f_n$ - некоторые положительные функции.

Требуется доказать, что найдутся такие дифференцируемые функции $H$ и $F_1,\ldots,F_n$, что
$G(x_1,...,x_n) = H(F_1(x_1)+....+F_n(x_n))$.

[V.V.]

Mikhail Sokolov писал(а):

Требуется доказать, что найдутся такие дифференцируемые функции H и F_1,...,F_n, что
G(x_1,...,x_n) = H(F_1(x_1)+....+F_n(x_n)).

Подставьте эту формулу в уравнение, и будет Вам счастье.

[Mikhail Sokolov]

Да, но ведь требуется найти общее решение системы, а не удостовериться, что эта формула ему удовлетворяет.

[V.V.]

Mikhail Sokolov писал(а):

Да, но ведь требуется найти общее решение системы, а не удостовериться, что эта формула ему удовлетворяет.

Изначально была формулировка "Требуется доказать, что найдутся..."

А для получения общего решения сделайте замену $f_k(x_k)dx_k=dy_k$.

[worm2]

V.V. писал(а):

А для получения общего решения сделайте замену $f_k(x_k)dx_k=dy_k$.

Извините, а можно поподробнее? Даны функции G, $f_k$, такие, что выполняется система дифуров из условия. Как мне найти $F_k$ и H? Я что-то не догоняю.

Пусть, например, $G(x_1,x_2)=e^{x_1x_2}$, $f_1(x_1) = f_2(x_2) \equiv 1$. Видно, что система дифуров выполняется. Делаю замену: $dy_k = f_k(x_k)dx_k = dx_k$, откуда $y_k = x_k + C_k$. Что дальше делать, мне непонятно (здесь решение, конечно, легко находится: $F_k(t) = \ln t$, $H(t)=e^{e^t}$, но как оно следует из Вашего алгоритма)?

[V.V.]

worm2 писал(а):

V.V. писал(а):

А для получения общего решения сделайте замену $f_k(x_k)dx_k=dy_k$.

Извините, а можно поподробнее?

Мы получим систему

$$ \frac{\partial G(y_1,y_2,\dots,y_n)}{\partial y_1}=\frac{\partial G(y_1,y_2,\dots,y_n)}{\partial y_2}=\dots=\frac{\partial G(y_1,y_2,\dots,y_n)}{\partial y_n}. $$

Рассмотрим первое равенство. Получаем $G=G(y_1+y_2,y_3,\dots,y_n)$. Потом рассматриваем следующее и т.д. Так и получим, что $G=G(y_1+\dots+y_n)$. А потом вернемся к исходным переменным.

Добавлено спустя 3 минуты 16 секунд:

worm2 писал(а):

Пусть, например, $G(x_1,x_2)=e^{x_1x_2}$, $f_1(x_1) = f_2(x_2) \equiv 1$. Видно, что система дифуров выполняется.

Не видно.
$\frac{\partial G}{\partial x_1}=x_2e^{x_1x_2}$, $\frac{\partial G}{\partial x_2}=x_1e^{x_1x_2}$

[worm2]

V.V. писал(а):

Не видно.
$\frac{\partial G}{\partial x_1}=x_2e^{x_1x_2}$, $\frac{\partial G}{\partial x_2}=x_1e^{x_1x_2}$

Ой, наврал.
Конечно, нужно взять $f_k(x_k) = 1/x_k$. Тогда система выполняется и, действительно, $y_k=F_k(x_k)=\ln x_k$, т.е. находятся правильно...

[Mikhail Sokolov]

V.V., большое спасибо.

[azamatv]

А может можно и так:
Пусть $n$ - зафиксированно, тогда
$\frac{dG(x_1,...,x_n)}{d x_1} / f_1(x_1)=...=\frac{dG(x_1,...,x_n)}{d x_n} / f_n(x_n)=\lambda$ => $dG(x_1,...,x_n) =\lambda f_k(x_k)d x_k$ для всех $k=1...n.$ Сложим все эти выражения, поделим на $n$, получим $dG(x_1,...,x_n)=\sum_{i=1}^n~\frac{\lambda}{n}f_k(x_k) d x_k$, интегрируем, получим $G(x_1,...,x_n)=\sum_{i=1}^n\int \frac{\lambda}{n}f_k(x_k)dx_k+...+C,~F_k(x_k)=\int \frac{\lambda}{n}f_k(x_k)dx_k$, а сумма от них плюс С - искомая H.

[Mikhail Sokolov]

Да, но лямбда не обязана быть константой.

[azamatv]

наврал...